Pí (číslo)

Řecké písmeno π (pí) pro označení tohoto čísla použil poprvé velšský matematik William Jones v roce 1706 jako zkratku řeckého slova pro obvod, řecky: περίμετρος (perimetros).[10] Toto označení zpopularizoval Leonhard Euler v roce 1737.[11]

V eukleidovské geometrii je π definováno jako poměr délky o kružnice k jejímu průměru d:[10]

Poměr o/d je konstantní, nezávisí na obvodu kružnice. Pokud má například kružnice dvakrát větší průměr než druhá, má také dvakrát větší obvod.

π může být také definováno jako poměr obsahu S kruhu ke čtverci poloměru r kružnice:[10][12]

Tyto definice závisí na důsledcích eukleidovské geometrie, třeba že všechny kružnice jsou si podobné a že pravé strany těchto dvou rovnic jsou si rovné (resp. že: ${\displaystyle S={\frac {or}{2}}}$). Tyto dvě geometrické definice mohou narazit na problémy v oblastech matematiky, která jindy geometrii nepoužívá. Z tohoto důvodu matematici často dávají přednost definici π bez geometrie. Využívají k tomu matematickou analýzu. Často se π definuje jako dvojnásobek nejmenší kladné hodnoty x, pro kterou je goniometrická funkce cos(x) rovna nule.[13]

Obvod = π × průměr

Obsah kruhu je π × obsah šedého čtverce

Protože ${\displaystyle \pi }$ je transcendentní číslo, nelze přes eukleidovskou konstrukci provést kvadraturu kruhu.

π je iracionální číslo, což znamená, že ho nelze vyjádřit podílem dvou celých čísel. Je to také transcendentní číslo, což znamená, že neexistuje polynom s racionálními koeficienty, pro který by π bylo kořenem.[14] Jedním z důsledků transcendentnosti je, že π nelze zkonstruovat kružítkem a pravítkem (euklidovsky). Protože souřadnice všech bodů, které mohou být konstruovány eukleidovskou konstrukcí, jsou konstruovatelná čísla, nelze např. provést kvadraturu kruhu, což znamená, že pouze pomocí kružítka a pravítka nelze zkonstruovat čtverec, jehož obsah je stejný jako obsah daného kruhu.[15] To je důležitý důkaz, protože kvadratura kruhu je jeden z tří geometrických problémů pocházejících už z antického Řecka.[16][17]

Prvních 50 desetinných míst π v desítkové soustavě je:[18][19]

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…

Na různých internetových stránkách se vyskytuje mnohem více číslic čísla π.[20] 14. března 2019 Emma Harukaová Iwaová představila hodnotu π na 31,416 bilionů desetinných míst. Výpočet trval 121 dní na 25 počítačích.[21][22]Tento počin je zapsán v Guinnessově knize rekordů.[23] I když bylo π spočítáno na více než bilion (10¹²) číslic,[24] v aplikované matematice se většinou používá zaokrouhlení pouze na několik desítek desetinných míst. 11 desetinných míst π například stačí na odhad délky kružnice, která je velká jako Země, s chybou menší než jeden milimetr a 39 desetinných míst stačí na jakoukoli představitelnou aplikaci.[25][26] NASA ve svých výpočtech používá 15 desetinných míst.[22]

Protože π je iracionální číslo, číslice v jeho desetinném rozvoji se nikdy nezačnou opakovat. Sled těchto číslic fascinuje matematiky i laiky a během posledních pár století se vkládají snahy do vypočítání více číslic π a zkoumání jeho vlastností.[27] Zatím se ale nepodařilo najít žádný vzor, podle kterého by se číslice opakovaly.[28]

Číselná soustava	Aproximace ${\displaystyle \pi }$
Dvojková	11,00100 10000 11111 10110…[29]
Osmičková	3,11037 55242 10264 30215…
Desítková	3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288…
Šestnáctková	3,243F6 A8885 A308D 31319…[30]
Racionální aproximace	3, 22⁄7, 333⁄106, 355⁄113, 103993⁄33102, …[31] (seřazeno od méně přesné k přesnější aproximaci)
Řetězový zlomek	[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1…][32] (Tento zlomek není periodický. Zobrazeno v lineárním zápisu.)

Nejhrubější odhad π je 3. Tato hodnota může stačit u případů, kde není potřeba velké přesnosti. Je to poměr obvodu vepsaného pravidelného šestiúhelníku k průměru kružnice.

π se dá odhadnout narýsováním kružnice, změřením jejího průměru a její délky a následným vydělením délky průměrem. Další způsob, který navrhl Archimédés,[34] je spočítat obvod o_n pravidelného mnohoúhelníku s n stranami s vepsanou kružnicí o průměru d. Potom lze vytvořit limitu posloupnosti, kde se n přibližuje nekonečnu:

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {o_{n}}{d}}.}$

Čím více má mnohoúhelník stran, tím menší je jeho největší vzdálenost od kružnice. Archimédés určil přesnost tohoto způsobu porovnáním obvodu mnohoúhelníku opsaného kružnici s obvodem mnohoúhelníku se stejným počtem stran vepsaného kružnici. S použitím mnohoúhelníku s 96 stranami spočítal rozsah, v kterém π leží:[35]

π lze také spočítat čistě matematickými metodami. Protože je transcendentní, nelze ho vyjádřit pomocí algebraické rovnice, v níž by se vyskytovaly jen racionální koeficienty.[14] Vyjádření pomocí elementární aritmetiky často obsahuje řady nebo sumační značení (např. „…“), což naznačuje, že vzorec je ve skutečnosti vzorcem pro nekonečnou řadu aproximací π.[36] Čím více prvků sumace obsahuje, tím přesnější bude odhad.

Vzorce k vypočítání π mají požadované matematické vlastnosti, ale jsou těžko pochopitelné bez znalosti trigonometrie. Některé jsou ale jednodušší, například Leibnizova řada:[37]

I když je tuto řadu jednoduché napsat a spočítat, nemusí být zpočátku jasné, proč je její výsledek π. Navíc je tak zdlouhavá, že je potřeba téměř 300 prvků, aby vyšla správně první dvě desetinná místa π.[38] Když se ale řada upraví, lze π počítat mnohem rychleji. Vezměme si posloupnost

${\displaystyle \pi _{0,1}={\frac {4}{1}},\ \pi _{0,2}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}},\ \pi _{0,3}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}},\ \pi _{0,4}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}},\cdots \!}$

a poté definujme

${\displaystyle \pi _{i,j}={\frac {\pi _{i-1,j}+\pi _{i-1,j+1}}{2}}{\text{ pro }}i,j\geq 1.}$

Poté výpočet ${\displaystyle \pi _{10,10}}$ zabere stejně času, jako výpočet 150 prvků původní řady, a ${\displaystyle \pi _{10,10}=3.141592653\ldots }$, což je správnost na 9 desetinných míst. Tato úprava se nazývá van Wijngaardenova transformace.[39]

Aproximace 355/113 (3,1415929…), která dává správně prvních 7 číslic π, se dá získat ze řetězového zlomku a je to nejlepší aproximace π vyjádřená zlomkem s maximálně čtyřcifernými čísly; další lepší aproximace je až 52163/16604 (3,141592387…).[31]

O znalosti π se spekuluje již u starověkých Egypťanů v období Staré říše, a to na základě rozměrů pyramid, ve kterých je údajně zakódováno. Velká pyramida v Gíze zkonstruovaná někdy mezi lety 2589–2566 př. n. l. byla postavena s obvodem 1760 loktů a s výškou 280 loktů; poměr 1760/280 = 44/7 ≈ 2π. Stejné proporce byly zvoleny při dřívější stavbě pyramidy Meidum (zhruba 2613–2589 př. n. l.). Někteří egyptologové to považují za záměr architektů. Miroslav Verner napsal: „Můžeme usoudit, že i když Egypťané neuměli přesně určit hodnotu π, v praxi ho používali.“[40] Podobný názor zastával i William Flinders Petrie.[41] Jiní tvrdí, že starověcí Egypťané o pí nevěděli a do svých staveb se ho tudíž nesnažili promítnout. Pyramidy mohly být stavěny jednoduše podle poměrů stran pravoúhlých trojúhelníků.[42] Jinou možností je vysvětlení výskytu čísla pí jako důsledku použité metody měření (vytyčování vzdáleností). Délkové míry se měřily odvalením kola, výškové pak jeho přikládáním na sebe. Tímto dojde automaticky k promítnutí čísla pí do poměru výšky a strany pyramidy. Pyramida tak byla stavěna s jednoduchými mírami: 280 „výškových loktů“ a 280 „délkových loktů“.

Nejstarší písemně doložené odhady π se datují do doby okolo 1900 př. n. l.; jsou to 256/81 (Egypt) a 25/8 (Babylon), oba méně než 1 % vzdálené od skutečné hodnoty.[10][43] Indický text Šatapatha Brahmana dává odhad 339/108 ≈ 3,139. Pasáže v 1. knize královské 7:23 a 2. knize kronik 4:2 mluví o obřadním bazénu v paláci krále Šalomouna, který má průměr deset loktů a obvod třicet loktů; někteří z toho usuzují, že autoři přisuzovali pí hodnotu okolo tří, ale jiní se to snaží vysvětlit šestiúhelníkovým bazénem.[44]

Archimédés používal k odhadu π metodu vyčerpání

Archimédés (287–212 př. n. l.) byl první, kdo odhadl π důsledně. Uvědomil si, že hodnota může být ohraničena shora i zespoda vepsáním a opsáním pravidelných mnohoúhelníků do kružnice a vypočtením jejich obvodů. Použitím 96úhelníků dokázal, že 223/71 < π < 220/70. Průměr těchto hodnot je zhruba 3,14185.[45]

Ptolemaios udává ve svém Almagestu hodnotu 3,14167, kterou možná získal od Apollónia z Pergy.[46]

Okolo roku 265 poskytl Liou Chuej, matematik z říše Cchao Wej, jednoduchý a důsledný opakující se algoritmus pro výpočet π s libovolnou přesností. Sám vypočítal hodnotu pro 3072úhelník a získal hodnotu 3,1416.[47] Později vynalezl rychlejší metodu, kterou získal hodnotu 3,14 s použitím 96úhelníku.>

Okolo roku 480 čínský matematik Cu Čchung-č’ pomocí metody Liou Chueje ukázal, že π ≈ 355/113 a 3,1415926 < π < 3,1415927. Použil k tomu 12288úhelník. Tato hodnota zůstala nejpřesnější dlouhých 900 let.[47]

Odhad π pomocí vepsaných mnohoúhelníků

Odhad π pomocí vepsaných a opsaných mnohoúhelníků (Archimédova metoda)

Ve 12. století prohlásil Maimonides, že π je iracionální.[48] To bylo dokázáno v roce 1761 Johannem Heinrichem Lambertem.[49] Během 20. století byly nalezeny důkazy, které vyžadují pouze znalosti integrálu. Jeden z nich proslavil Ivan Niven.[50][51] Podobný důkaz ukázala o něco dříve Mary Cartwright.[52]

Do 2. tisíciletí bylo π spočítáno na méně než 10 desetinných míst. Další výrazný pokrok v odhadování jeho hodnoty přišel s vývojem nekonečných řad a diferenciálního a integrálního počtu. Od té doby bylo možné π spočítat s jakoukoli přesností pomocí řad. Okolo roku 1400 vymyslel Madhava ze Sangamagramy první nám známou takovou řadu:

${\displaystyle {\pi }=4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+\cdots \!}$

Tato řada je známá jako Madhavova-Leibnizova řada[53][54] nebo Gregoryho-Leibnizova řada, protože ji znovuobjevili James Gregory a Gottfried Leibniz v 17. století. Postup je ovšem tak pomalý, že je potřeba spočítat 4000 prvků, aby byl výsledek přesnější než ten Archimédův. Ale po úpravě řady na

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}\\&={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right),\end{aligned}}}$

byl Madhava schopen π odhadnout na 3,14159265359, což je správně na 11 desetinných míst. Tento rekord pokořil v roce 1424 perský matematik Al-Káší, který ho odhadl na 16 desetinných míst.

V Evropě po Archimédovi udělal další velký pokrok německý matematik Ludolph van Ceulen (1540–1610), který použil geometrickou metodu, díky které odhadl π správně na 35 desetinných míst. Na svůj výpočet byl tak hrdý, že si tuto hodnotu nechal vytesat na hrob. Pí se proto někdy nazývá Ludolfovým číslem.[55]

Někdy v té době se v Evropě začala vyvíjet metoda nekonečných řad. První takové vyjádření nabízel nekonečný součin, který v roce 1593 vymyslel François Viète:[56]

Dalším známým vyjádřením je Wallisův součin od Johna Wallise z roku 1655:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k)^{2}}{(2k)^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \ ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdots \!.}$

Isaac Newton v letech 1665–66 odvodil vzorec pomocí řady s arkem sinem a vypočítal π na 15 číslic:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=6\arcsin {\frac {1}{2}}\\&=6\left({\frac {1}{2^{1}\cdot 1}}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {1}{2^{3}\cdot 3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {1}{2^{5}\cdot 5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {1}{2^{7}\cdot 7}}+\cdots \right)\\&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots .\end{aligned}}}$

Později ale prohlásil: „Stydím se říci, na kolik číslic jsem tyto výpočty prováděl, když jsem zrovna neměl co jiného na práci.“[57] Tento výpočet se k π přibližuje lineárně s rychlostí μ, která je alespoň tři desetinná místa na každých pět prvků. Když se n blíží k nekonečnu, μ se blíží k 1/4 a 1/μ ke 4:

${\displaystyle \mu ={\frac {(2n-1)^{2}}{8n(2n+1)}};{\frac {1}{\mu }}={\frac {8n(2n+1)}{(2n-1)^{2}}}}$.

V roce 1706 se povedlo Johnu Machinovi jako prvnímu spočítat π na 100 desetinných míst.[55] Použil k tomu řadu s arkem tangens

${\displaystyle \arctan \,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!}$

a vymyslel vzorec

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!.}$

Vzorce podobného typu se až do příchodu počítačů staly nejlepší možnou metodou výpočtu π. Johann Dase, jeden z takzvaných lidských kalkulátorů, v roce 1844 pomocí podobné rovnice v hlavě vypočítal 200 desetinných míst π. Na konci 19. století držel rekord William Shanks, který za 15 let vypočítal 707 číslic π, i když kvůli chybě bylo jen 527 z nich správně.[55] (Novější rekordy jsou často počítány dvakrát dvěma různými rovnicemi, aby se zabránilo takovýmto chybám. Když se výsledky shodují, jsou nejspíše správné.)

Teoretický pokrok 18. století vedl k několika objevům o povaze π, které jsou neproveditelné pouze pomocí číselných výpočtů. V roce 1761 dokázal Johann Heinrich Lambert iracionalitu π a v roce 1794 dokázal Adrien-Marie Legendre, že i π² je iracionální. Když Leonhard Euler v roce 1735 vyřešil známý Basilejský problém a zjistil, že hodnota Riemannovy funkce zeta pro 2 je

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots \!}$

neboli π²/6, prokázal, že π má spojitost s prvočísly. Legendre i Euler navrhli, že π by mohlo být transcendentní číslo, což v roce 1882 dokázal Ferdinand von Lindemann.[58]

Počítačová animace π

Příchod počítačů ve 20. století vedl k novým a novým rekordům ve výpočtu π. John von Neumann se svým týmem v roce 1949 použil ENIAC k výpočtu prvních 2037 číslic π, což počítači zabralo 70 hodin.[59] V příštích desetiletích byly přidány tisíce desetinných míst a hranice milionu číslic byla překonána v roce 1973. Pokrok nebyl rychlejší než předtím jen kvůli rychlejšímu hardware, ale i díky novým algoritmům. Jedním z největších pokroků byl objev rychlé Fourierovy transformace (FFT) v šedesátých letech, který umožňuje počítačům velmi rychle provádět výpočty s velkými čísly.

Na začátku 20. století vymyslel indický matematik Šrínivása Rámanudžan několik nových vzorců pro π, z nichž některé jsou pozoruhodné svou elegancí, hloubkou a rychlostí konvergence.[60] Jeden z jeho vzorců je řada

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!,}$

kde k! je faktoriál k.

Několik dalších je ukázáno v následující tabulce:[61][62]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{3n+1}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {32}{Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{8n}{\frac {(42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{64^{n}}(n!)^{3}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {27}{4Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{n}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{2n+1}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{2n+1}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{2n+1}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{2n+1}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3^{n}}{4}^{n+1}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2}^{2n+1}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {72}{Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4^{4n}18^{2n}}}\!}$
${\displaystyle \pi ={\frac {3528}{Z}}\!}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{4n}882^{2n}}}\!}$

Z podobného vzorce, který v roce 1987 vymysleli bratři Čudnovští,

${\displaystyle {\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}\!}$

lze získat 14 číslic na jeden prvek.[60] Pomocí něho bratři ke konci osmdesátých let vytvořili několik rekordů ve výpočtu π včetně pokoření hranice jedné miliardy číslic (konkrétně 1 011 196 691) v roce 1989. Tato metoda se používá na výpočet π v programech na dnešních osobních počítačích. 5. října 2010 oznámil PhysOrg.com, že počítačoví experti Shigeru Kondo a Alexander Yee vypočítali π na pět bilionů desetinných míst, čímž dvojnásobně překonali předchozí rekord.[63] Později rekord navýšili na deset[64] a dvanáct[65] bilionů.

Většina řad zvyšuje přesnost výpočtu s pevně danou rychlostí, ale existují algoritmy, které násobí počet správných číslic s každým krokem. V roce 1975 matematici Richard Brent a Eugene Salamin objevili Brentův-Salaminův algoritmus, který s každým dalším krokem počet správných číslic zdvojnásobí.[66] Nejdříve se definují proměnné

${\displaystyle a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1\!}$

a poté se opakuje

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\!}$

${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}\!}$

dokud a_n a b_n nemají podobnou hodnotu. Potom lze π odhadnout následovně:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.\!}$

25 opakování tohoto algoritmu vede ke 45 milionům správných desetinných míst. Podobný algoritmus, který každým krokem zečtyřnásobuje přesnost, objevili Jonathan a Peter Borweinovi.[67] Tyto metody použil Jasumasa Kanada se svým týmem k dosažení většiny rekordů v odhadu π od roku 1980. Nejpřesnějšího výsledku do konce 2. tisíciletí dosáhl roku 1999, kdy π vypočítal na 206 158 430 000 desetinných míst.

V roce 1995 Simon Plouffe vyvinul Baileyho-Borweinův-Plouffeův vzorec (BBP vzorec):[68]

Tento vzorec je zajímavý tím, že dokáže určit n-tou binární hodnotu π bez počítání těch předchozích.[68] V roce 2000 se zjistilo, že biliardtý bit π má hodnotu 0.[69]

V březnu 2019 byl publikován tehdejší rekord v nejpřesnějším odhadu π v desítkové soustavě, který má 31,4 bilionu číslic.[70] Spočítala jej japonská počítačová specialistka Emma Haruka Iwao s využitím výpočetní síly cloudu společnosti Google.[71][72] Aktuálě nejpřesnější odhad (srpen 2021) má 62,8 bilionu desetinných míst.[8]

Pro každý kruh s poloměrem r a průměrem d = 2r platí, že jeho obvod je πd a obsah πr². Dále se π objevuje v rovnicích pro výpočet obsahů a objemů pro mnoho geometrických útvarů, jejichž tvary jsou založené na kružnicích, například elipsy, koule, kužely a tory.[79] Proto se vyskytuje i v určitých integrálech, které popisují obvod, obsah nebo objem útvarů vytvářených kruhy. Například polovina plochy jednotkového kruhu je vyjádřena integrálem:[80] ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}$ a

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\pi }$

vyjadřuje polovinu délky jednotkové kružnice.[79] Lze integrovat i složitější tělesa, např. rotační tělesa.[81]

Z definice goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice vyplývá, že sinus a kosinus mají periodu 2π. To znamená, že pro každé x a celé číslo n platí sin(x) = sin(x + 2πn) a cos(x) = cos(x + 2πn), protože sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 pro všechna celá čísla n. Z definice také plyne, že 180° je rovno π radiánům, neboli 1° = (π/180) radiánů.

V moderní matematice je π často definováno pomocí goniometrických funkcí, například jako nejmenší kladné x, pro které platí sin x = 0. Dělá se to kvůli odstranění závislosti na eukleidovské geometrii. π může být také definováno pomocí cyklometrických funkcí, např. π = 2 arccos(0) nebo π = 4 arctan(1). Rozšíření cyklometrických funkcí jako mocninných řad je nejjednodušší způsob, jak odvodit nekonečné řady pro π.

Eulerův vzorec zobrazuje komplexní rovina. Zvýšení úhlu φ na π radiánů (180°) vede k Eulerově rovnosti

Komplexní číslo ${\displaystyle z}$ lze vyjádřit v polární soustavě souřadnic následovně:

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )}$

Častý výskyt π v komplexní analýze může mít spojitost s chováním exponenciální funkce komplexní proměnné popsané Eulerovým vzorcem

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi \!}$

kde i je imaginární jednotka, pro kterou platí i² = −1, a e ≈ 2,71828 je Eulerovo číslo. Tento vzorec naznačuje, že imaginární mocniny e popisují rotaci na jednotkové kružnici v komplexní rovině; tyto rotace mají periodu 360° = 2π. Když se úhel φ rovná π, vznikne Eulerova rovnost

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1.\!}$

Existuje n různých n-tých odmocnin jedničky

${\displaystyle \mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} k/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$

V pravděpodobnosti a statistice se vyskytuje několik vzorců, které obsahují π.

• Pravděpodobnost, že 2 náhodně zvolená celá čísla jsou nesoudělná, je ${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}$.
• Funkce hustoty pravděpodobnosti pro normální rozdělení, kde μ je střední hodnota a σ je směrodatná odchylka:[82]

${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}}$.

• Funkce hustoty pravděpodobnosti pro (standardní) Cauchyho rozdělení:[83]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.}$

Se znalostí faktu, že pro libovolnou hustotu pravděpodobnosti platí, že ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1}$, lze z předchozích vzorců odvodit další vzorce pro výpočet čísla π.

Buffonova jehla je úloha, díky které je možné empiricky odhadnout hodnotu π. Představme si, že máme jehlu o délce L jednotek, kterou opakovaně házíme na povrch, jež je rozdělen rovnoběžnými linkami od sebe vzdálenými S jednotek (s tím, že S > L). Pokud je jehla hozena n–krát a x–krát z toho překříží linku (x > 0), potom lze π přibližně odhadnout pomocí metody Monte Carlo:[84][85][86][87]

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2nL}{xS}}.}$

I když je tato metoda matematicky dokonalá, nelze s ní určit hodnotu π pomocí experimentu na více než pár číslic. Správné určení pouze tří prvních číslic (3,14) vyžaduje miliony hodů[84] a počet hodů roste exponenciálně s počtem požadovaných číslic.

• Gaussův integrál

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}.}$

Důsledkem toho je, že gama funkce poloviny celého čísla je racionálním násobkem √π, např.:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$

• Stirlingův vzorec

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$

• Cauchyův vzorec

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{c}{\frac {f(z)\mathrm {d} z}{z-z_{0}}}}$

I když π není fyzikální konstanta, objevují se ve fyzikálních vztazích koeficienty obsahující ${\displaystyle \pi }$, které vyjadřují jistou geometrickou symetrii (2${\displaystyle \pi }$ pro kruhovou či válcovou symetrii – plný rovinný úhel v obloukové míře, 4${\displaystyle \pi }$ pro kulovou symetrii – plný prostorový úhel). Volbou jednotek koeficient sice může zmizet u jednoho vztahu, ale objeví se u jiného, takže plně se ho zbavit nelze. Některé soustavy jednotek (například soustava SI pro elektromagnetické jednotky) proto respektují tzv. racionalizaci, tzn. že koeficienty obsahující ${\displaystyle \pi }$ se vyskytují pouze v těch vztazích, kde jsou geometricky a fyzikálně oprávněné. Níže uvedený vzorec pro Coulombovu sílu (všesměrové působení do plného prostorového úhlu) proto koeficient 4${\displaystyle \pi }$ obsahuje „oprávněně“, jeho eliminace (např. v Gaussově soustavě jednotek CGS) pak vede k „podivným“ koeficientům 4${\displaystyle \pi }$ ve vztazích pro elektrickou indukci a v Maxwellových rovnicích. Ze stejného důvodu se objevuje faktor 2·4${\displaystyle \pi }$ v níže uvedené Einsteinově rovnici, neboť vztah pro Newtonův gravitační zákon je tradičně neracionalizovaný.

Koeficienty 2${\displaystyle \pi }$ se vyskytují i u některých rovnic periodických dějů. Je to proto, že fáze jedné periody se tradičně pokládá rovna 2${\displaystyle \pi }$, tedy plnému úhlu, aby byla zajištěna korespondence průmětu rovnoměrného pohybu po kružnici do jedné osy souřadné s harmonickým kmitavým pohybem. (Zde je i původ 2${\displaystyle \pi }$ v níže uvedené relaci neurčitosti, použije-li se namísto „přirozené“ modifikované Planckovy konstanty konstanta nemodifikovaná.)

Hodnotu lze získat i z různých experimentů[88] a pozorování.[89]

Příklady:

• Heisenbergův princip neurčitosti, který ukazuje, že nepřesnosti měření polohy částice (Δx) a hybnosti (Δp) nemohou být zároveň libovolně malé:[90]

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}={\frac {\hbar }{2}}}$

• Einsteinovy rovnice gravitačního pole v obecné teorii relativity:[91]

${\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}$

• Kosmologická konstanta Λ z Einsteinovy rovnice gravitačního pole je ve vztahu s hustotou energie vakua ρ_vac následovně (G je gravitační konstanta):[92]

${\displaystyle \Lambda =8\pi G\ \rho _{\text{vac}}}$

• Coulombův zákon pro výpočet elektrické síly mezi dvěma elektrickými náboji (q₁ a q₂) od sebe vzdálených délkou r (ε₀ vyjadřuje permitivitu vakua):[93]

${\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$

• Ampérův vzorec pro magnetickou sílu působící na délce ${\displaystyle l\,}$ mezi dvěma rovnoběžnými vodiči vzdálenými od sebe o kolmou vzdálenost ${\displaystyle d\,}$ protékanými proudy ${\displaystyle I_{1}\,}$, ${\displaystyle I_{2}\,}$:

${\displaystyle {\frac {F}{l}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {I_{1}I_{2}}{d}}}$

• 3. Keplerův zákon týkající se doby oběhu (T), velké poloosy dráhy (a) a hmotností (M a m):

${\displaystyle \left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}\,a^{3}=\omega ^{2}a^{3}=G(M+m)}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Pi na anglické Wikipedii.

• BECKMANN, Petr. Historie čísla π. Praha: Academia, 1998. ISBN 80-200-0655-9.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pí na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo pí ve Wikislovníku
• (anglicky) http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/pi.html
• (anglicky) Digits of Pi na Open Directory Project
• (anglicky) Formulas for π na MathWorld
• (anglicky) Representations of Pi na Wolfram Alpha
• (anglicky) Pi na PlanetMath
• (anglicky) Determination of π na Cut-the-knot
• (anglicky) Statistical Distribution Information on PI based on 1.2 trillion digits of PI
• (anglicky) Pi Search Engine (2 billion digits)
• (anglicky) Pi is Wrong!
• (anglicky) The Tau Manifesto.
• (anglicky) A000796 v OEIS