Eulerův vzorec

Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.

Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

Její Taylorův rozvoj je:

${\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+...}$

Definiční obor exponenciální funkce lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + bi):

${\displaystyle e^{a+bi}={\frac {{(a+bi)}^{0}}{0!}}+{\frac {{(a+bi)}^{1}}{1!}}+{\frac {{(a+bi)}^{2}}{2!}}+...}$

Pro a = 0 dostáváme:

${\displaystyle e^{ib}={\frac {{(ib)}^{0}}{0!}}+{\frac {{(ib)}^{1}}{1!}}+{\frac {{(ib)}^{2}}{2!}}+{\frac {{(ib)}^{3}}{3!}}+...}$

Nyní mírně přerovnejme sčítance

${\displaystyle e^{ib}=\left({\frac {{(ib)}^{0}}{0!}}+{\frac {{(ib)}^{2}}{2!}}+...\right)+\left({\frac {{(ib)}^{1}}{1!}}+{\frac {{(ib)}^{3}}{3!}}+...\right)}$

Ze druhé části vytkneme i:

${\displaystyle e^{ib}=\left({\frac {{(ib)}^{0}}{0!}}+{\frac {{(ib)}^{2}}{2!}}+...\right)+i\left({\frac {b^{1}}{1!}}+{\frac {i^{2}b^{3}}{3!}}+...\right)}$

Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme využít, toho že i² = -1:

${\displaystyle e^{ib}=\left({\frac {b^{0}}{0!}}-{\frac {b^{2}}{2!}}+...\right)+i\left({\frac {b^{1}}{1!}}-{\frac {b^{3}}{3!}}+...\right)}$

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:

${\displaystyle e^{ib}=\cos(b)+i\sin(b)}$

Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.

Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je ${\displaystyle x}$ číslo komplexní, protože sinus i kosinus lze pro komplexní argument napsat jako Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného až na to, že mají argument komplexní.