Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo je použitelná nejen k řešení jednoduchých určitých i vícerozměrných integrálů, parciálních diferenciálních rovnic, ale třeba také řešení systémů lineárních rovnic, či hledání kořenů rovnic.[4]

Příkladem použití metody Monte Carlo je Rabinův-Millerův test prvočíselnosti. Používá se k rychlému rozhodnutí, zda je dané celé kladné číslo N prvočíslem nebo zda je složené. Počítá několik mocnin čísla b modulo N, první exponent je číslo N-1, každý další exponent je polovina předcházejícího, pokud je předcházející exponent sudý. Test končí ve chvíli, kdy je odpovídající mocnina různá od jedné i od minus jedné modulo N a číslo je správně klasifikováno jako složené, nebo v okamžiku, kdy buď už exponent nelze dělit dvěma, nebo se mocnina rovná minus jedné modulo N a tehdy se číslo označuje jako silné pseudoprvočíslo při bázi b. Pravděpodobnost, že silné pseudoprvočíslo není prvočíslem, je menší, než jedna osmina. Opakujeme-li tedy test s jinými volbami báze, a vždy dostáváme odpověď, že se jedná o silné pseudoprvočíslo, pravděpodobnost, že se skutečně jedná o prvočíslo, prudce vzrůstá.[6]

Rozlišují se dvě varianty metody Monte Carlo, analogový a neanalogový model.

Musíme umět modelovat celou situaci na počítači, to znamená například znát všechna pravděpodobnostní rozložení zkoumaných jevů a fyzikální zákonitosti, kterými se řídí. Provedením této simulace získáme výsledek, realizaci jakési náhodné veličiny ${\displaystyle \xi }$. Tuto simulaci spustíme n-krát a získáme soubor historií x₁ ...x_n . Odhad střední hodnoty ${\displaystyle \xi }$ se určí :

${\displaystyle \xi \approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$

a směrodatná odchylka se určí jednoduše jako

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})^{2}}{n-1}}}}$

Tak se nazývá případ, kdy při výpočtu nepoužíváme model reálného děje. Například výpočet určitého integrálu, případně obsahu ohraničeného útvaru.

Metody typu Monte Carlo lze úspěšně využít také pro numerickou integraci. Hlavní článek o Monte Carlo integrování.

Metoda Monte Carlo se v matematické statistice používá například k počítání přesnosti odhadů (resampling, bootstrapping) nebo pro výpočty v bayesovské statistice (MCMC a jiné).

K odhadu chyby výsledku získaného metodou Monte Carlo se většinou používá střední kvadratická chyba aritmetického průměru. Chyba výsledku získaného pomocí n historií je úměrná ${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$. Takže aby se zlepšil výsledek o jeden řád musí se počet historií zvýšit alespoň o dva řády. Abychom získali výsledek s přesností na 6 desetinných míst, což odpovídá přesnosti jiných metod musíme získat 10¹² historií.

Další použití metody

• Buffonova úloha
• projekt Manhattan
• Millerův-Rabinův test prvočíselnosti

Kromě již zmíněné fyzikální chemii se metoda Monte Carlo používá ke složitým výpočtům v kvantové chromodynamice, aerodynamice, dále ve fyzice polymerů, statistické fyzice, fyzice částic. Monte Carlo najde uplatnění i při předpovědi počasí.

Zejména metoda Quasi Monte Carlo se využívá při renderování ve 3D modelech. Grafické programy mají funkci, která vytváří odrazy světla od různých ploch, Monte Carlo je generuje náhodně v rámci polokulové distribuce, Quasi Monte Carlo je vytváří pravidelně. Využití – počítačové hry, grafika, animace, filmové efekty, architektura apod. Jedna z metod renderování je radiozita, vychází ze zákona zachování energie a definuje se jako:

${\displaystyle B_{i}=E_{i}+R_{i}\int _{j}B_{j}F_{i}j}$

kde: B_i je radiozita plošky i. E_i je vyzařovaná energie této plošky. R_i je odrazivost plošky. integrál reprezentuje součet energií přicházejících na plošku i ze všech ostatních plošek. F_ij je konfigurační faktor mezi ploškami i a j (vliv plošky j na plošku i).

Hazardní hry jsou založeny na náhodě, tak jako u jiných her je popsána systémem pravidel a je posloupností tahů. Právě výsledky tahů jsou u hazardních her zcela náhodné – náhodné tahy, u jiných her, kde jsou tahy ovlivněny vůlí hráče, je označujeme jako osobní tahy. Monte Carlo je ukázkou procesů, kdy systém osobních tahů bude simulovat systém náhodných tahů. Právě hazardní hry byly východiskem pro vznik a rozvoj teorie pravděpodobnosti. Monte Carlo resp. generátory náhodných a pseudonáhodných čísel umožňují mechanizovat hazardní hry, protože umožňují nastavit všem alternativám stejnou pravděpodobnost.[7]

V oblasti ekonomiky je možné metodu Monte Carlo využít pro oceňování opcí, investic a jiných finančních derivátů, analýzu rizika, pro zjištění optimální hodnoty portfolia, pro rozhodování či zajišťování.

Metoda Monte Carlo dává nejpřesnější pravděpodobnosti ve srovnání s jinými metodami. I přes značné výhody naráží na řadu překážek:[8]

• vysoká citlivost výsledků metody Monte Carlo k zákonům pravděpodobnostního rozdělení a typu závislostí vstupních proměnných;
• i když současné programy umožňují vzít v úvahu zákony rozdělení pravděpodobnosti, provést korelaci mezi vstupními proměnnými a zhodnotit jejich spolehlivost, v praxi to obvykle není možné, protože ve většině případů analytici stanoví změny základních proměnných makro a mikro prostředí, vybírají zákony rozdělení pravděpodobnosti a statistické vztahy mezi proměnnými subjektivně.
• V důsledku výše uvedených důvodů je přesnost výsledných odhadů do značné míry závislá na kvalitě základních předpokladů a vzájemných souvislostech vstupních proměnných, což může vést k významným chybám ve výsledcích.

Z praktického hlediska je použitelnost metody Monte Carlo kvůli velkému množství zjednodušených předpokladů modelů značně omezená.

Metoda Monte Carlo může být použita také pro pravděpodobnostní posudek spolehlivosti technických struktur (strojů a jejich částí, stavební konstrukce atd.) Pravděpodobnostní posudek spolehlivosti je pak alternativou ke klasickému staršímu deterministickému posudku spolehlivosti. Jedním z průkopníků pravděpodobnostního posudku spolehlivosti technických struktur byl český inženýr Pavel Marek.

Využití metody Monte Carlo je opravdu velmi široké, musí pouze splňovat výše uvedené předpoklady. Kromě již zmíněného se Monte Carlo používá také:

• ve výzkumu polovodičů k modelování přenosu nabitých částic
• ve studiu životního prostředí, v oblasti znečištění
• tepelné štíty
• při pátracích a záchranných činnostech - modely používané k předpovědím pohybu záchranných člunů nebo rozšiřování ropné skvrny na moři
• předpovědi struktury bílkovin

Generátory náhodných čísel s definovaným stochastickým rozdělením jsou základem simulačních programů Monte Carlo. Generátory náhodných čísel fungují tak, že nejprve vygenerují posloupnost náhodných čísel s rovnoměrným rozdělením (primární generátor) a poté je z nich transformací vytvořena posloupnost s požadovaným rozdělením. Primární generátory jsou fyzikální nebo pseudonáhodné.[10]

Jako fyzikální generátor náhodných čísel se dá chápat vše, co má charakter náhodnosti, jako např. házení kostkou nebo mincí. Častěji se ale používají generátory založené na kombinaci radioaktivního zářiče a detektoru (vyzařuje částice v náhodném množství). Fyzikální generátory se ale málo používají, jelikož mohou být v závislosti na vnějších vlivech nestabilní, posloupnost čísel se nedá zopakovat a chování se může lišit v důsledku výrobních tolerancí.

Nejpoužívanějším^[zdroj?] generátorem pseudonáhodných čísel je tzv. kongruentní generátor. Posloupnost lze vyjádřit vztahem:

${\displaystyle X_{n+1}=(aX_{n}+c)mod\ m}$

kde mod m je celočíselný zbytek po dělení a, c, m jsou zvolené konstanty

Generovaná čísla jsou diskrétní z intervalu <0,m). Kvalita generovaných čísel závisí na zvolených konstantách, čím vyšší hodnoty, tím „kvalitnější“ generovaná čísla jsou, ale rychlost generování klesá.

• Hušek R. Ekonometrická analýza. Ekopress, Praha 1999. ISBN 80-86119-19-X

• Genetický algoritmus - další skupina numerických metod používající sekvence náhodných čísel.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Metoda Monte Carlo na Wikimedia Commons