Eulerovo číslo

Eulerovo číslo má několik alternativních ekvivalentních definic. Nejčastější jsou:

1. Eulerovo číslo jako limita následující posloupnosti:

   ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

2. Eulerovo číslo jako součet následující nekonečné řady:

   ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$

3. Eulerovo číslo jako jediné číslo ${\displaystyle x>0}$, pro které platí, že:

   ${\displaystyle \ln {x}=\int \limits _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}={1}}$

4. Eulerovo číslo jako hodnota funkce ${\displaystyle e=f(1)}$, která je jediným řešením diferenciální rovnice:

   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=f(x)}$ s počáteční podmínkou ${\displaystyle f(0)=1}$.

${\displaystyle e^{x}}$ je taková exponenciální funkce, jejíž derivace v bodě ${\displaystyle x}$ je rovna funkční hodnotě v tomto bodě.

Eulerovo číslo je iracionální, tzn. jeho desetinný rozvoj je nekonečný a neperiodický. Dokonce je transcendentní, tzn. nelze ho vyjádřit jako kořen konečného mnohočlenu s celočíselnými koeficienty.

• Exponenciální funkce
• Logaritmus
• Číslo pí

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerovo číslo na Wikimedia Commons
• (anglicky) A001113 v OEIS
• (anglicky) Eulerovo číslo v encyklopedii Mathworld
• (česky) Eulerovo číslo na milion desetinných míst