Polynom

Polynom ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}}$ lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle p(x)=(...((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+...+a_{1})x+a_{0}}$

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu ${\displaystyle p(x)}$ v bodě ${\displaystyle x}$ postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

${\displaystyle c_{n}=a_{n}}$,

${\displaystyle c_{n-1}=c_{n}x+a_{n-1}}$,

${\displaystyle c_{n-2}=c_{n-1}x+a_{n-2}}$,

…

${\displaystyle c_{0}=c_{1}x+a_{0}}$,

pak poslední číslo ${\displaystyle c_{0}}$ představuje právě hodnotu polynomu ${\displaystyle p(x)}$ v bodě ${\displaystyle x}$.

• Mějme polynomy ${\displaystyle f(x)=x^{4}-x}$, ${\displaystyle g(x)=x^{3}-2x+1}$

${\displaystyle f(x)+g(x)=x^{4}-x+x^{3}-2x+1=x^{4}+x^{3}-3x+1}$

${\displaystyle f(x)\cdot g(x)=(x^{4}-x)(x^{3}-2x+1)=x^{7}-2x^{5}+x^{4}-x^{4}+2x^{2}-x=x^{7}-2x^{5}+2x^{2}-x}$

• Pokusme se zjistit, zda je polynom ${\displaystyle f(x)=x^{4}-3x^{2}+2x+1}$ dělitelný polynomem ${\displaystyle g(x)=x^{2}+1}$.

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu ${\displaystyle f(x)}$ členem s nejvyšší mocninou polynomu ${\displaystyle g(x)}$, tzn. ${\displaystyle {\frac {x^{4}}{x^{2}}}=x^{2}}$. První člen polynomu ${\displaystyle r(x)}$ tedy bude ${\displaystyle x^{2}}$. Tímto členem vynásobíme polynom ${\displaystyle g(x)}$ (dostaneme tedy ${\displaystyle x^{4}+x^{2}}$) a výsledek odečteme od polynomu ${\displaystyle f(x)}$, čímž získáme nový polynom ${\displaystyle f_{1}(x)=f(x)-(x^{4}+x^{2})=-4x^{2}+2x+1}$.

Nejvyšší člen polynomu ${\displaystyle f_{1}(x)}$ opět dělíme nejvyšším členem polynomu ${\displaystyle g(x)}$, tzn. ${\displaystyle {\frac {-4x^{2}}{x^{2}}}=-4}$, tzn. další člen polynomu ${\displaystyle r(x)}$ je ${\displaystyle -4}$. Tímto členem opět násobíme polynom ${\displaystyle g(x)}$, tzn. získáme ${\displaystyle -4x^{2}-4}$, a výsledek odečteme od polynomu ${\displaystyle f_{1}(x)}$. Získáme nový polynom ${\displaystyle f_{2}(x)=2x+5}$.

Stupeň polynomu ${\displaystyle f_{2}(x)}$ je však nižší než stupeň polynomu ${\displaystyle g(x)}$, proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom ${\displaystyle f_{2}(x)}$ tedy odpovídá polynomu ${\displaystyle s(x)}$.

Výsledek tedy je

${\displaystyle f(x)=x^{4}-3x^{2}+2x+1=g(x)r(x)+s(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-4)+(2x+5)}$,

tzn. ${\displaystyle r(x)=x^{2}-4}$ a ${\displaystyle s(x)=2x+5}$.

Vzhledem k tomu, že ${\displaystyle s(x)\neq 0}$, není polynom ${\displaystyle f(x)}$ dělitelný polynomem ${\displaystyle g(x)}$.

• Je-li ${\displaystyle \alpha }$ kořenem polynomu ${\displaystyle p(x)}$ stupně ${\displaystyle n\geq 1}$, pak

${\displaystyle p(x)=(x-\alpha )g(x)}$,

kde ${\displaystyle g(x)}$ je polynom stupně ${\displaystyle n-1}$.

• Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze ${\displaystyle k}$ kořenů polynomu ${\displaystyle n}$-tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom ${\displaystyle p(x)}$ na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu ${\displaystyle g(x)}$ stupně ${\displaystyle n-k}$, tzn.

${\displaystyle p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{k})g(x)}$,

kde ${\displaystyle \alpha _{i}}$ představují známé kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)}$. Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu ${\displaystyle p(x)}$ stačí hledat pouze kořeny polynomu ${\displaystyle g(x)}$, tzn. řešit rovnici ${\displaystyle g(x)=0}$, neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)}$. Polynom ${\displaystyle g(x)}$ získáme z polynomu ${\displaystyle p(x)}$ jeho vydělením výrazem ${\displaystyle (x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})}$.

• Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom ${\displaystyle p(x)}$ stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$,

kde ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$ jsou kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)}$. Členy ${\displaystyle (x-\alpha _{i})}$ označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

• Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát

${\displaystyle f(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{k_{1}}\cdot (x-\alpha _{2})^{k_{2}}\cdot ...\cdot (x-\alpha _{n})^{k_{n}}}$,

kde ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=n}$, přičemž ${\displaystyle k_{i}}$ jsou přirozená čísla. Čísla ${\displaystyle k_{i}}$ určují násobnost kořene ${\displaystyle \alpha _{i}}$, tzn. kolikrát se kořen ${\displaystyle \alpha _{i}}$ vyskytuje v řešení polynomu.

• Pokud má polynom stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ s reálnými koeficienty ${\displaystyle k}$-násobný kořen ${\displaystyle \alpha =a+ib}$, má také ${\displaystyle k}$-násobný kořen ${\displaystyle {\overline {\alpha }}=a-ib}$. To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem ${\displaystyle (x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})=x^{2}-2xa+(a^{2}+b^{2})}$.

• Podle předchozího tvrzení lze každý polynom ${\displaystyle p(x)}$ stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla ${\displaystyle a_{n}}$, reálných kořenových činitelů ${\displaystyle x-\alpha _{i}}$ a reálných trojčlenů ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}}$, splňujících podmínku ${\displaystyle p_{i}^{2}-4q_{i}<0}$, tzn.

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{k})(x^{2}+p_{1}x+q_{1})(x^{2}+p_{2}x+q_{2})\cdots (x^{2}+p_{m}x+q_{m})}$,

kde ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{k},p_{1},...,p_{m},q_{1},...,q_{m}}$ jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka ${\displaystyle k+2m=n}$.

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{u_{1}}\cdots (x-\alpha _{s})^{u_{s}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{v_{1}}\cdots (x^{2}+p_{r}x+q_{r})^{v_{r}}}$,

kde ${\displaystyle u_{1}+u_{2}+...+u_{s}=k}$ určuje počet reálných kořenů polynomu a ${\displaystyle v_{1}+v_{2}+...+v_{r}=m}$ je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

• Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

• Pokud jsou ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$ kořeny polynomu ${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$, potom pro tyto kořeny platí následující vztahy

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=-a_{n-1}}$

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}+\alpha _{2}\alpha _{3}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}++\alpha _{n-1}\alpha _{n}=a_{n-2}}$

…

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{n}=(-1)^{n}a_{0}}$

Číslo ${\displaystyle \alpha }$ je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu ${\displaystyle k-1}$ (a není kořenem derivace řádu ${\displaystyle k}$).