Kužel

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině ${\displaystyle z=c}$ prochází elipsou ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ (tzv. řídící křivka), má rovnici

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}$

Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.

Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=\pm 1}$

Pro ${\displaystyle a=b}$ jde o rotační kužel s osou rotace ${\displaystyle z}$.

Kuželovou plochu s vrcholem v bodě ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ je vždy možné vyjádřit rovnicí

${\displaystyle F\left({\frac {x-x_{0}}{z-z_{0}}},{\frac {y-y_{0}}{z-z_{0}}}\right)=0}$

Označíme-li ${\displaystyle r}$ poloměr kruhové podstavy kužele a ${\displaystyle h}$ výšku kužele (tj. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:

• poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako

${\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\,\!}$

• objem kužele jako

${\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}\,\!}$

• povrch kužele jako součet obsahu podstavy ${\displaystyle S_{p}=\pi r^{2}\,\!}$ a obsahu pláště ${\displaystyle S_{pl}=\pi rs\,\!}$

${\displaystyle S=S_{p}+S_{pl}=\pi r(r+s)\,\!}$

• Symetrické vlastnosti
  • Kužel není středově souměrný.
  • Kužel je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
  • Kužel je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).

• V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. To je ostatně vidět i ze vzorce pro objem, který je hodně podobný vzorci pro objem jehlanu.

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.

Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:

• průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
• průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
• průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

• průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele (obr. B dole)
• průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele (obr. B nahoře)
• průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (obr. A)
• průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele) (obr. C)

To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.