Cauchyho rozdělení

Cauchyho rozdělení. Na obrázku je parametr ${\displaystyle a}$ označen ${\displaystyle x_{0}}$ a λ jako γ

Cauchyho rozdělení pravděpodobnosti s parametry a a λ, pro ${\displaystyle -\infty <a<\infty }$ a ${\displaystyle \lambda >0}$, je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;a,\lambda )&={\frac {1}{\pi \lambda \left[1+\left({\frac {x-a}{\lambda }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\lambda \over (x-a)^{2}+\lambda ^{2}}\right]\end{aligned}}}$

kde a je parametr polohy a λ parametr variability rozdělení.

Zvláštní případ, kdy a=0 a λ=1, se nazývá standardní Cauchyho rozdělení s hustotou pravděpodobnosti vyjádřenou vztahem

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.}$

Nechť X značí náhodnou veličinu s Cauchyho rozdělením s parametry a, λ. Jeho Charakteristická funkce je pak rovna:

${\displaystyle \phi _{X}(t;a,\gamma )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,a\,t-\gamma \,|t|)\!}$.