Mocninná řada

Mocninná řada (jedné proměnné) v matematice je nekonečná řada tvaru

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}

+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots

kde a_n je koeficient n-tého členu, c je konstanta a x se mění v blízkosti c (z tohoto důvodu můžeme říkat, že řady mají střed v bodě c). Tyto řady obvykle vznikají jako Taylorovy řady nějaké známé funkce.

V mnoha situacích je c rovno nule, například u Maclaurinovy řady. Mocninná řada pak má jednodušší tvar

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .

Tyto mocninné řady se nejdříve objevily v analýze, ale také se objevují v kombinatorice (pod jménem generující funkce) a v elektrotechnice (pod jménem Z-transformace). Obvyklý desítkový zápis reálných čísel může být také považována za příklad mocninné řady s celočíselnými koeficienty a s pevnou hodnotou argumentu x rovnou ${\frac {1}{10}}$ . Pojem p-adických čísel v teorii čísel také úzce souvisí s mocninnými řadami.

Příklady

Exponenciální funkce (modře) a suma prvních n+1 členů její Maclaurinovy mocninné řady (červeně).

Každý polynom lze vyjádřit jako mocninnou řadu s libovolným středem c, která má většinu koeficientů rovných nule. Například polynom $f(x)=x^{2}+2x+3$ může být zapsán jako mocninná řada o středu $c=0$ jako

f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,

nebo o středu $c=1$ jako

f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+

0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,

nebo o středu c. Mocninnou řadu můžeme považovat za polynom nekonečného stupně, i když mocninné řady obecně polynomy nejsou.

Vzorec pro geometrickou řadu

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,

který platí pro $|x|<1$ , je jedním z nejdůležitějších příkladů mocninné řady, stejně jako řada pro exponenciální funkci

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,

a vzorec pro funkci sinus

\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,

platí pro všechna reálná x. Tyto mocninné řady jsou příkladem Taylorovy řady.

Záporné mocniny nejsou v mocninné řadě povoleny, například $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ se nepovažuje za mocninnou řadu (i když to je Laurentova řada). Podobně ani neceločíselné mocniny jako $x^{1/2}$ nejsou povoleny (jsou povoleny u Puiseuxových řad). Koeficienty $a_{n}$ nesmí záviset na $x$ , takže například:

\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,

mocninná řada není.

Poloměr konvergence

Mocninná řada konverguje pro některé hodnoty proměnné x a může divergovat pro ostatní hodnoty. Všechny mocninné řady f(x) s mocninami (x-c) konvergují v bodě x = c. (Správné hodnoty f(c) = a₀ vyžadují interpretaci výrazu 0⁰ jako rovnou 1.) Pokud c není jediný bod, kde řada konverguje, pak existuje vždy číslo r, takové že 0 < r ≤ ∞ tak, že řada konverguje pro každé |x − c| < r a diverguje pro každé |x − c| > r. Číslo r se nazývá poloměr konvergence mocninné řady; obecně jej lze zapsat jako

r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}

nebo, ekvivalentně,

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$

(toto je Cauchyova–Hadamardova věta). Rychlý způsob, jak tento výraz spočítat je

r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|

pokud tato limita existuje.

Řady konverguje absolutně pro |x − c| < r a konverguje stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině {x : |x − c| < r}. To jest, řada je absolutně a kompaktně konvergentní uvnitř disku konvergence.

Pro |x − c| = r, nelze obecně říct, zda řada konverguje nebo diverguje. Ale v případě reálných proměnných, Abelova věta říká, že suma řady je spojitá v bodě x, pokud řada konverguje v bodě x. V případě komplexní proměnné, lze pouze prohlásit spojitost podél úsečky začínající v bodě c a končící v bodě x.

Operace na mocninných řadách

Sčítání a odčítání

Když jsou dvě funkce f a g rozloženy na mocninnou řadu se stejným středem c, mocninnou řadu součtu nebo rozdílu funkcí lze získat sčítáním nebo odčítáním po členech. Neboli pokud

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}

pak

f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.

Součin a podíl

Pomocí definice uvedené výše pro mocninnou řadu součinu a podílu funkcí platí:

f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)

=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}

=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.

Posloupnost $m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ se nazývá konvoluce posloupností $a_{n}$ a $b_{n}$ .

Pro dělení platí:

{f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}

f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)

a pak lze použít postup uvedený výše s porovnáváním koeficientů.

Derivace a integrace

Pokud je funkce zadaná jako mocninná řada, je derivovatelná uvnitř oboru konvergence. Řadu lze snadno derivovat a integrovat člen po členu:

f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}

\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.

Obě tyto řady mají stejný poloměr konvergence jako původní.

Analytické funkce

Funkce f definované na nějaké otevřené podmnožině U množiny R nebo C se nazývá analytická, pokud je lokálně zadaná jako konvergentní mocninná řada. To znamená, že každé a ∈ U má otevřené okolí V ⊆ U, takové, že existuje mocninná řada o středu a, která konverguje k f(x) pro každé x ∈ V.

Každá mocninná řada s kladným poloměrem konvergence je analytická na uvnitř své oblasti konvergence. Všechny holomorfní funkce jsou komplexně analytické. Součty a násobky analytických funkce jsou analytické, stejně jako podíly, pokud je dělitel nenulový.

Pokud funkce je analytická, pak existují její derivace všech řádů, ale opak v reálném případě obecně neplatí. Koeficienty analytické funkce a_n lze vyjádřit jako

a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}

kde $f^{(n)}(c)$ označuje n-tou derivaci f v bodě c a $f^{(0)}(c)=f(c)$ . To znamená, že každá analytická funkce je lokálně reprezentovaná svoji Taylorovou řadou.

Obecná forma analytické funkce je zcela určena svým lokálním chováním v následujícím smyslu: pokud f a g jsou dvě analytické funkce definované na stejné souvislé otevřené množině U, a pokud existuje prvek c∈U takový, že f⁽ⁿ⁾(c) = g⁽ⁿ⁾(c) pro všechna n ≥ 0, pak f(x) = g(x) pro všechna x ∈ U.

Pokud je zadaná mocninná řada s poloměrem konvergence r, můžeme uvažovat analytické pokračování řady, tj. analytické funkce f, které jsou definované na větších množinách než { x : |x − c| < r } a souhlasí se zadanou mocninnou řadou na této množiny. Číslo r je maximální v následujícím smyslu: vždy existuje komplexní číslo x s |x − c| = r takový, že žádné analytické pokračování řady nemůže být v bodě x.

Rozvoj mocninná řada inverzní funkce analytické funkce může být určena pomocí Lagrangeovy inverzní formule.

Formální mocninná řada

V abstraktní algebře, lze zachytit podstatu mocninných řad bez omezení na obor integrity reálných nebo komplexních čísel a bez potřeby uvažovat konvergenci. To vede k pojmu formální mocninné řady, který je velmi užitečný v algebraické kombinatorice.

Mocninné řady více proměnných

Rozšíření teorie je nutné pro diferenciální a integrální počet více proměnných. Mocninná řada je zde definované jako nekonečná řada tvaru

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},

kde j = (j₁, …, j_n) je vektor přirozených čísel, koeficienty a_{(j₁,...,j_n)} jsou obvykle reálná nebo komplexní čísla, a střed c = (c₁, …, c_n) a argument x = (x₁, …, x_n) jsou obvykle reálné nebo komplexní vektory. V obvyklejší multi-indexové notaci lze napsat

f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.

Teorie takových řad je složitější než teorie řad jedné proměnné, se složitějšími oblastmi konvergence. Například mocninná řada $\sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}$ je absolutně konvergentní na $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ mezi oběma hyperbolami. (Toto je příklad log-konvexní množiny v tom smyslu, že množina bodů $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ , kde $(x_{1},x_{2})$ leží v uvedené oblasti, je konvexní množina. Obecněji můžeme ukázat, že pokud c=0, uvnitř oblasti absolutní konvergence je vždy log-konvexní množina v tom to smyslu.) Na druhou stranu, uvnitř této oblasti konvergence můžeme derivovat a integrovat pod symbolem řady stejně jako v případě normální mocninné řady.

Řád mocninné řady

Nechť α je multi-index mocninné řady f(x₁, x₂, …, x_n). Řád mocninné řady f se definuje jako nejmenší hodnota |α| taková, že a_α ≠ 0, nebo 0 pokud f ≡ 0. Speciálně pro mocninnou řadu f(x) jedné proměnné x, řád f je nejmenší mocnina x s nenulovým koeficientem. Tuto definici lze jednoduše rozšířit na Laurentovy řady.

Reference

Power series Encyclopedia of Mathematics V tomto článku byl použit překlad textu z článku Power series na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

Mocninná řada v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Mocninná řada v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Complex Power Series Module by John H. Mathews
Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.