Gaussův integrál

Integrál Gaussovy funkce označíme ${\displaystyle Y}$.

${\displaystyle Y=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x}$

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme ${\displaystyle y}$.

${\displaystyle Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} y}$

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.

${\displaystyle Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi ${\displaystyle (x,y)}$. Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic ${\displaystyle (\varphi ,r)}$, do kterých funkci přepíšeme.

${\displaystyle Y^{2}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} r=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\mathrm {d} r}$

Tento integrál už lze jednoduše vyřešit metodou substituce (u = r²) a jeho hodnota je ${\displaystyle \pi }$. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.

${\displaystyle Y={\sqrt {\pi }}}$

• Josef Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha 1997, ISBN 80-200-0603-6

• Normální rozdělení
• Seznam integrálů exponenciálních funkcí
• Chybová funkce