Integrál

Jednoduše řečeno, je určitý integrál nezáporné funkce jedné proměnné f(x) mezi nějakými dvěma body a, b roven ploše obrazce omezeného přímkami x=a, x=b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f. Formálněji řečeno, takový integrál je roven míře množiny S definované jako

${\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\}}$

Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem tzv. dlouhým s (ſ) (z latinského slova ſumma, summa, což znamená součet). Toto značení vytvořil Gottfried Leibniz. Slovo integrál zavedl Johann Bernoulli. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}$, kde znaménko ∫ značí integrování, ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), ${\displaystyle {\rm {d}}x}$ označuje proměnnou, podle které se integruje (${\displaystyle {\rm {d}}}$ původně označovalo infinitezimální hodnotu, dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu). Písmeno d se na rozdíl od proměnné nepíše kurzívou.

Existuje mnoho definic určitého integrálu. Mezi ně patří:

• Newtonův integrál (jehož definice souvisí s neurčitým integrálem)
• Zobecněný Newtonův integrál
• Riemannův integrál (jehož definice vystihuje geometrickou interpretaci „plocha pod křivkou“)
• Lebesgueův integrál, který dokáže zintegrovat zvláště širokou třídu funkcí
• Mohrův integrál
• Duhamelův integrál
• Borweinův integrál
• trigonometrický integrál (integrálsinus)

Tyto definice se liší množinou funkcí, které jsou podle nich integrovatelné, ale pokud pro několik definicí funkce integrovatelná je, pak je hodnota integrálu stejná. Definice jsou tedy ekvivalentní nad společnými podmnožinami svých definičních oborů.[1]

Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity, například u spodní meze takto (F je primitivní funkce k f):

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{t\to a+}\int \limits _{t}^{b}f(x)\mathrm {d} x\,\!}$

Například ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=+\infty ,\,\,\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\mathrm {d} x=2\,\!}$

Podobně je tomu, pokud některá z mezí leží v nekonečnu:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{t\to +\infty }\int \limits _{a}^{t}f(x)\mathrm {d} x\,\!}$

Například ${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=+\infty ,\,\,\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=1\,\!}$

Křivkový integrál je integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky.

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti ${\displaystyle \displaystyle \Omega }$. Je-li ${\displaystyle \displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ funkcí ${\displaystyle \displaystyle n}$ proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti ${\displaystyle \displaystyle \Omega }$ označujeme jako vícerozměrný (${\displaystyle n}$-rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů

${\displaystyle {\iint \cdots \int }_{\!\!\!\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} \Omega ={\iint \cdots \int }_{\!\!\!\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{n}={\iint \cdots \int }_{\!\!\!\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} ^{n}x}$

Počet integračních znaků ${\displaystyle \int }$ odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} \Omega \,}$

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty. Mezi vícerozměrné integrály řadíme např. plošný a objemový integrál.

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

• primitivní funkce
• hlavní hodnota integrálu
• diferenciální počet
• integrální rovnice
• Gaussův integrál
• Newtonův integrál
• numerická integrace
• integrál pohybu
  • wind-up
• nevlastní integrál
• vícerozměrný integrál
• určitý integrál
• integrace per partes
• substituční metoda (integrování)

• Obrázky, zvuky či videa k tématu integrál na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo integrál ve Wikislovníku
• Kniha Integrování ve Wikiknihách
• Online výpočet integrálu
• Online integrační kalkulačka s postupem
• MAW – matematické výpočty online umožňuje online výpočet integrálů, včetně krokování postupu a automatického návrhu, jakou metodu pro výpočet použít.