Buffonova jehla

Mějme jehlu o délce ${\displaystyle \ell }$ a hoďme ji na rovinu rozdělenou s rovnoběžnými linkami ${\displaystyle t}$, přičemž ${\displaystyle t\geq \ell }$ (jehla je menší než vzdálenosti mezi linkami). Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne linku?

Nechť je ${\displaystyle x}$ vzdálenost od středu jehly k nejbližší lince a nechť ${\displaystyle \theta }$ je velikost ostrého úhlu, který svírá jehla a linka.

Hustota pravděpodobnosti náhodné proměnné ${\displaystyle x}$ je pro ${\displaystyle x\in \langle 0;{\frac {t}{2}}\rangle }$ rovna

${\displaystyle {\frac {2}{t}}\,dx}$.

Hustota pravděpodobnosti ${\displaystyle \theta }$ je pro ${\displaystyle \theta \in \langle 0;{\frac {\pi }{2}}\rangle }$ rovna

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\,d\theta }$.

Tyto dvě náhodné proměnné jsou navzájem nezávislé, proto složená hustota pravděpodobnosti je rovna součinu dílčích hustot:

${\displaystyle {\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta }$.

Jehla protne linku tehdy, pokud

${\displaystyle x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta }$.

Integrováním složené hustoty pravděpodobnosti dostaneme pravděpodobnost, že jehla linku protne:

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{{\frac {\ell }{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}}$.

Pokud při ${\displaystyle n}$ hodech jehla protla linku v ${\displaystyle h}$ případech, můžeme psát odhad

${\displaystyle {\frac {h}{n}}={\frac {2\ell }{t\pi }}}$,

ze kterého lze ${\displaystyle \pi }$ vyjádřit takto:

${\displaystyle \pi ={\frac {2{\ell }n}{th}}}$.

Pokud bychom na počátku zvolili jehlu delší než je vzdálenost mezi linkami (${\displaystyle t<\ell }$), byl by výsledný vzorec ve tvaru

${\displaystyle {\frac {h}{n}}={\frac {2\ell }{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {\ell ^{2}-t^{2}}}-\operatorname {arcsec} {\frac {\ell }{t}}\right)+1}$.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Buffonova jehla na Wikimedia Commons
• Buffonova jehla v encyklopedii MathWorld (anglicky)