Kružnice

V kartézském souřadném systému (x, y) je kružnice se středem (x₀, y₀) a poloměrem r množina všech bodů (x, y) vyhovujících rovnici

${\displaystyle \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}}$

Pokud se střed kružnice nachází v počátku souřadnic (0, 0), lze tento vzorec zjednodušit na

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,}$

Kružnice se středem v počátku souřadnic a poloměrem 1 se nazývá jednotková kružnice.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2mx-2ny+p=0}$

kde ${\displaystyle p=m^{2}+n^{2}-r^{2}}$. Platí přitom ${\displaystyle m^{2}+n^{2}-p>0}$. V opačném případě nejde o kružnici.

Kružnici lze vyjádřit také tzv. vrcholovou rovnicí

${\displaystyle y^{2}=2rx-x^{2}}$,

která popisuje kružnici o poloměru ${\displaystyle r}$ se středem v bodě ${\displaystyle [r,0]}$.

Parametrické rovnice kružnice lze zapsat jako

${\displaystyle x=x_{0}+r\cos \varphi }$

${\displaystyle y=y_{0}+r\sin \varphi }$

kde ${\displaystyle r}$ je poloměr kružnice, ${\displaystyle [x_{0},y_{0}]}$ je její střed a ${\displaystyle \varphi \in \langle 0,2\pi )}$ je proměnný parametr.

V polárních souřadnicích má rovnice kružnice o poloměru ${\displaystyle r}$ se středem ${\displaystyle [\rho _{0},\varphi _{0}]}$ tvar

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho \rho _{0}\cos {(\varphi -\varphi _{0})}+\rho _{0}^{2}=r^{2}}$

Ve zvláštním případě, kdy střed kružnice leží na polární ose (tedy ${\displaystyle \varphi _{0}=0}$) a počátek soustavy leží na kružnici (tedy ${\displaystyle \rho _{0}=r}$) dostaneme rovnici

${\displaystyle \rho =2r\cos \varphi }$

Kružnice je speciálním případem kuželosečky, konkrétně elipsy, a může být tedy vyjádřena obecnou rovnicí kuželosečky. Kružnici lze z obecné rovnice kuželosečky získat tehdy, pokud koeficienty ${\displaystyle a_{ij}}$ splňují podmínky

${\displaystyle a_{11}=a_{22}\neq 0}$

${\displaystyle a_{12}=0}$

${\displaystyle a_{13}^{2}+a_{23}^{2}-a_{11}a_{33}>0}$

Obecnou rovnici kuželosečky lze tedy pro kružnici přepsat ve tvaru

${\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{11}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}$

Vyjádříme-li z této rovnice poloměr kružnice, dostaneme

${\displaystyle r={\frac {1}{a_{11}}}{\sqrt {a_{13}^{2}+a_{23}^{2}-a_{11}a_{33}}}}$

Střed této kružnice má souřadnice

${\displaystyle \left[-{\frac {a_{13}}{a_{11}}},-{\frac {a_{23}}{a_{11}}}\right]}$

Sečna, tečna, tětiva, kruhová výseč a úseč

Přímka dělící kruh na dvě části se nazývá sečna a přímka dotýkající se kruhu na jednom místě se nazývá tečna. Tečny jsou vždy kolmé k spojnici bodu doteku a středu, jejíž velikost je rovna poloměru.

Rovnice pro výpočet tečny v bodě ${\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}$, který náleží kružnici, se vyjádří:

${\displaystyle (x_{0}-m)(x-m)+(y_{0}-n)(y-n)=r^{2}}$

Část sečny obklopená kružnicí se nazývá tětiva. Nejdelšími tětivami jsou ty, které prochází středem, zvané průměry, jejichž velikost je rovna dvojnásobku poloměru. Část kruhu odseknutá tětivou je kruhová úseč. Obsah kruhové úseče je dán vztahem

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}[lr-t(r-v)]={\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )}$,

kde ${\displaystyle l}$ je délka oblouku kruhové úseče, ${\displaystyle r}$ je poloměr kruhu, ${\displaystyle v}$ je výška kruhové úseče, ${\displaystyle t}$ je délka tětivy a ${\displaystyle \alpha }$ je velikost středového úhlu v obloukové míře.

Část kružnice mezi dvěma poloměry se nazývá kruhový oblouk a oblast (tedy výřez kruhu) mezi poloměry a obloukem se nazývá kruhová výseč. Poměr mezi délkou oblouku a poloměrem definuje úhel mezi dvěma poloměry v radiánech. Obsah kruhové výseče lze určit ze vztahu

${\displaystyle S={\frac {r^{2}\alpha }{2}}={\frac {lr}{2}}}$,

kde ${\displaystyle \alpha }$ je středový úhel v obloukové míře, ${\displaystyle r}$ je poloměr kruhu a ${\displaystyle l}$ je délka oblouku kružnice.

Je-li známa pouze kružnice nebo její část, lze následujícím způsobem nalézt střed: vezměte dvě nerovnoběžné tětivy, zkonstruujte kolmice na jejich středy a zjistěte jejich průsečík. Poloměr r tohoto částečného kruhu lze spočítat z délky L tětivy a vzdálenosti D ze středu tětivy do nejbližšího bodu kružnice různými vzorce včetně:

Znázornění tětivy

(z geometrického odvození)

${\displaystyle r={\frac {{\left({\frac {L}{2}}\right)}^{2}+D^{2}}{2D}}}$; ${\displaystyle r={\frac {L^{2}}{8D}}+{\frac {D}{2}}}$

(z trigonometrického odvození)

${\displaystyle r={\frac {L}{\ 2\left(\sin 2(\operatorname {arctg} {\frac {L}{2D}})\right)}}}$; ${\displaystyle r={\frac {(L/2)}{\sin {\biggl (}2\mathrm {arctg} {\Bigl (}{\frac {D}{(L/2)}}{\Bigr )}{\biggr )}}}}$

Každý trojúhelník určuje několik kružnic: jeho kružnice opsaná obsahuje všechny tři vrcholy, kružnice vepsaná leží uvnitř trojúhelníku a dotýká se všech tří stran, tři kružnice připsané ležící mimo trojúhelník a dotýkající se vždy jedné strany a prodloužení zbylých dvou a kružnice devíti bodů, která obsahuje různé důležité body trojúhelníku. Thaletova věta tvrdí, že pokud tři vrcholy trojúhelníku leží na dané kružnici, v níž jedna strana trojúhelníku tvoří průměr kružnice, pak protilehlý úhel k této straně je pravý.

Pro dané tři body neležící na přímce zde existuje právě jedna kružnice, která tyto body obsahuje (neboli kružnice opsaná pro trojúhelník definovaný těmito body). Pro dané tři body <(x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)> je rovnice této kružnice dána jednoduše touto rovnicí s použitím determinantu matice:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}x&y&x^{2}+y^{2}&1\\x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\\\end{bmatrix}}=0.}$

Kružnice je typem kuželosečky, kde výstřednost je rovna nule (rovina řezu je kolmá k ose kužele). V afinní geometrii se všechny kružnice a elipsy stávají (afinně) izomorfními a v projektivní geometrii se k nim ostatní kuželosečky připojují. V topologii jsou všechny jednoduché uzavřené křivky homeomorfní ke kružnicím a proto je slovo kružnice na ně často aplikováno jako na celek. Třírozměrnou analogií kruhu je koule.