Eulerova rovnost

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením () a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Znění

Eulerova rovnost je vzorec , kde

Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem Eulerova vzorce, který říká

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

dostaneme

Protože

a

vyplývá odtud

a převedením na druhou stranu

Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Související články

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.