Pravidelný mnohoúhelník
Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.
Pravidelné konvexní mnohoúhelníky | |
---|---|
Obsah | s je délka strany, n je počet vrcholů/úhlů |
Grupa symetrie | Dihedrální (Dn) |
Úhel u vrcholu | ° |
Součet vnitřních úhlů | ° |
Obecné vlastnosti
Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.
- Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.
- Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.
- Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.
- Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.
Pravidelné konvexní mnohoúhelníky
Galerie
Úhly
Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký
- (neboli ) stupňů
- neboli radiánů
a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký stupňů.
Úhlopříčky
Pro je počet úhlopříček .
Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.
Poloměry
Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:
Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:
Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany
Obsah
Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané je:[1]
Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující
Strany | Název | Přesná plocha | Přibližná plocha |
---|---|---|---|
n | pravidelný n-úhelník | ||
3 | rovnostranný trojúhelník | 0,433012702 | |
4 | čtverec | 1 | |
5 | pravidelný pětiúhelník | 1,720477401 | |
6 | pravidelný šestiúhelník | 2,598076211 | |
7 | pravidelný sedmiúhelník | 3,633912444 | |
8 | pravidelný osmiúhelník | 4,828427125 | |
9 | pravidelný devítiúhelník | 6,181824194 | |
10 | pravidelný desetiúhelník | 7,694208843 | |
11 | pravidelný jedenáctiúhelník | 9,365639907 | |
12 | pravidelný dvanáctiúhelník | 11,19615242 | |
13 | pravidelný třináctiúhelník | 13,18576833 | |
14 | pravidelný čtrnáctiúhelník | 15,33450194 | |
15 | pravidelný patnáctiúhelník | 17,64236291 | |
16 | pravidelný šestnáctiúhelník | 20,10935797 | |
17 | pravidelný sedmnáctiúhelník | 22,73549190 | |
18 | pravidelný osmnáctiúhelník | 25,52076819 | |
19 | pravidelný devatenáctiúhelník | 28,46518943 | |
20 | pravidelný dvacetiúhelník | 31,56875757 |
Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.[2]
Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky
Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).
Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regular polygon na anglické Wikipedii.
- Mathworlds [online]. Dostupné online. (anglicky)
- Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
Literatura
- Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 34-37
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu pravidelný mnohoúhelník na Wikimedia Commons
- Pravidelný mnohoúhelník v encyklopedii MathWorld (anglicky)