Pravidelný mnohoúhelník

Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky
Obsah
s je délka strany, n je počet vrcholů/úhlů
Grupa symetrie Dihedrální (Dn)
Úhel u vrcholu °
Součet vnitřních úhlů °
Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Obecné vlastnosti

Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.

  • Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.
  • Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.
  • Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.
  • Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Galerie

Úhly

Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký

(neboli ) stupňů
neboli radiánů

a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký stupňů.

Úhlopříčky

Pro je počet úhlopříček .

Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.

Poloměry

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany

Obsah

Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané je:[1]

Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující

StranyNázevPřesná plochaPřibližná plocha
n pravidelný n-úhelník 
3 rovnostranný trojúhelník0,433012702
4 čtverec1
5 pravidelný pětiúhelník1,720477401
6 pravidelný šestiúhelník2,598076211
7 pravidelný sedmiúhelník 3,633912444
8 pravidelný osmiúhelník4,828427125
9 pravidelný devítiúhelník 6,181824194
10 pravidelný desetiúhelník7,694208843
11 pravidelný jedenáctiúhelník 9,365639907
12 pravidelný dvanáctiúhelník11,19615242
13 pravidelný třináctiúhelník 13,18576833
14 pravidelný čtrnáctiúhelník 15,33450194
15 pravidelný patnáctiúhelník17,64236291
16 pravidelný šestnáctiúhelník20,10935797
17 pravidelný sedmnáctiúhelník 22,73549190
18 pravidelný osmnáctiúhelník 25,52076819
19 pravidelný devatenáctiúhelník 28,46518943
20 pravidelný dvacetiúhelník31,56875757

Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.[2]

Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky

Pentagram {5/2}

Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).

Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.

  • pentagram - {5/2}
  • hexagram - {6/2}
  • heptagram - {7/2} a {7/3}
  • oktagram - {8/2} a {8/3}
  • enneagram - {9/2}, {9/3} a {9/4}
  • dekagram - {10/2}, {10/3} a {10/4}
  • hendekagram - {11/2}, {11/3}, {11/4} a {11/5}
  • dodekagram - {12/2}, {12/3}, {12/4} a {12/5}

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regular polygon na anglické Wikipedii.

  1. Mathworlds [online]. Dostupné online. (anglicky)
  2. Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.

Literatura

  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 34-37

Externí odkazy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.