Kořen (matematika)
Kořenem funkce se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru funkce , v němž funkce nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem funkce je každá hodnota splňující rovnici () = 0.
Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor funkce podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce protíná komplexní rovinu resp. osu souřadnicového systému.
Kořen polynomu
Polynom jedné proměnné stupně s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše různých komplexních kořenů. Je-li kořenem polynomu , pak dělí a tedy je polynom stupně .[1]
Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit – např. polynom nemá řešení v oboru reálných čísel.
Řešení: ; .
Metody výpočtu
Přímý výpočet
Je-li lineární polynom ( kde jsou reálná nebo komplexní čísla, pak jeho kořenem je číslo .
Pro kvadratický polynom (), existují obecně dva kořeny .
Příklad1: rovnice v součinném tvaru
řešení:
;
Pro výpočet kořenů kubického polynomu lze použít např. Cardanovy vzorce nebo Hornerovo schéma.[2]
Příklad2: , hledané řešení:
, kde je kořen a ,
po roznásobení pravé strany a úpravě vytýkáním, vznikne rovnice:
porovnáním koeficientů u stejné mocniny vznikne soustava tří rovnic o třech neznámých:
Vyřešené hodnoty lze dosadit do rovnice
vyřešením rovnic v součinném tvaru je kořen rovnice pouze číslo , kvadratická rovnice nemá v oboru řešení.
Aproximace
Najdeme-li dva body a , pro které platí , kde značí znaménkovou funkci signum (), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu , (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen.
Příklady
- Funkce (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
- Funkce (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů (je periodická) , a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.
Reference
- Algebraicke rovnice. user.mendelu.cz [online]. [cit. 2021-04-01]. Dostupné online.
- Rovnice vyšších stupňů. kdm.karlin.mff.cuni.cz [online]. [cit. 2021-04-01]. Dostupné online.