Einsteinovy rovnice gravitačního pole

Rovnice vychází z toho, že fyzikálnímu poli lze přiřadit symetrický tenzor energie a hybnosti ${\displaystyle T^{\iota \kappa }}$. Dále se v teorii relativity předpokládá, že gravitační pole v daném bodě ${\displaystyle x^{\lambda }}$ je možné popsat deseti funkcemi ${\displaystyle g^{\iota \kappa }(x^{\lambda })}$, ${\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3}$ (viz metrický tenzor).

Einsteinovy rovnice je možné zapsat ve tvaru

${\displaystyle G^{\iota \kappa }(g_{\mu \nu ,\pi \rho },g_{\mu \nu ,\pi },g_{\mu \nu })=\varkappa T^{\iota \kappa }(g_{\mu \nu ,\rho },g_{\mu \nu },\phi )}$,

kde ${\displaystyle T^{\iota \kappa }}$ je tenzor energie a hybnosti, ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ je Einsteinův tenzor a symbol ${\displaystyle \phi }$ je označením pro všechna ostatní fyzikální pole čistě negeometrické povahy (včetně jejich derivací), jako je např. hmotný prach, tekutina nebo elektromagnetické pole. ${\displaystyle \varkappa }$ je Einsteinova gravitační konstanta

${\displaystyle \varkappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$.

V tomto vzorci je ${\displaystyle G}$ Newtonova gravitační konstanta a ${\displaystyle c}$ je rychlost světla.

O Einsteinovu tenzoru ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ lze předpokládat, že závisí pouze na metrickém tenzoru a jeho parciálních derivacích podle ${\displaystyle x^{\lambda }}$ nejvýše do druhého řádu. Obvykle se také požaduje, aby ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ záviselo na druhých derivacích metrického tenzoru lineárně, což lze zapsat jako

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G^{\iota \kappa }}{\partial g_{\rho \sigma ,\tau \mu }\partial g_{\alpha \beta ,\gamma \delta }}}=0}$.

Zákon zachování energie a hybnosti omezuje pravou stranu Einsteinových rovnic podmínkou ${\displaystyle T_{;\kappa }^{\iota \kappa }=0}$. Divergence levé strany Einsteinových rovnic tedy musí být identicky nulová, tzn. ${\displaystyle G_{;\iota }^{\iota \kappa }=0}$.

Lze ukázat, že pokud má ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ záviset pouze na metrickém tenzoru a jeho derivacích, pak je tvar ${\displaystyle G^{\iota \kappa }}$ určen až na konstanty ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ jako

${\displaystyle G^{\iota \kappa }=a_{1}R^{\iota \kappa }+a_{2}Rg^{\iota \kappa }+a_{3}g^{\iota \kappa }}$

kde ${\displaystyle R^{\iota \kappa }}$ je Ricciho tenzor a ${\displaystyle R}$ je skalární křivost.

Srovnáním tohoto vztahu se zúženými formami Riemannova tenzoru lze dojit k závěru, že můžeme položit ${\displaystyle a_{1}=-1}$ a ${\displaystyle a_{2}={\frac {1}{2}}}$. Konstanta ${\displaystyle a_{3}}$ zůstává neurčena. Zavedeme-li novou konstantu ${\displaystyle \Lambda =-a_{3}}$, můžeme rovnici popisující gravitační zákon vyjádřit jako

${\displaystyle R^{\iota \kappa }-{\frac {1}{2}}Rg^{\iota \kappa }-\Lambda g^{\iota \kappa }=\varkappa T^{\iota \kappa }}$

Konstanta ${\displaystyle \Lambda }$ se označuje jako kosmologická konstanta. Konstanta ${\displaystyle \Lambda }$ hraje úlohu pouze v kosmologických měřítkách. Pokud řešíme problémy, které nejsou kosmologického charakteru, klademe ${\displaystyle \Lambda =0}$, tzn.

${\displaystyle R^{\iota \kappa }-{\frac {1}{2}}Rg^{\iota \kappa }=\varkappa T^{\iota \kappa }}$

Zúžením této dostaneme skalární rovnici

${\displaystyle R=\varkappa T}$

S pomocí této rovnice lze předchozí rovnici upravit na

${\displaystyle R^{\iota \kappa }=\varkappa (T^{\iota \kappa }-{\frac {1}{2}}Tg^{\iota \kappa })}$

V prázdném prostoru, tedy v dokonalém vakuu, platí

${\displaystyle T^{\iota \kappa }=0}$

V takovém případě platí ${\displaystyle R=0}$ Odtud plyne, že v prázdném prostoru se rovnice gravitačního pole redukují na tvar

${\displaystyle R^{\iota \kappa }=0}$

Einsteinovy rovnice gravitačního pole, představují systém deseti nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Tyto rovnice tvoří základ obecné teorie relativity.

Vzhledem k tomu, že tyto rovnice jsou nelineární, neplatí v obecné teorii relativity princip superpozice.