Fyzikální veličina

Vztahy mezi veličinami jsou (vedle definičních vztahů odvozených veličin) dány přírodními zákony. Rovnice zapsané vztahy mezi veličinami se nazývají veličinové rovnice. Dosavadní empirické zkoumání obecných zákonitostí přírody potvrzuje, že při vhodné volbě veličin pro jejich popis lze vztahy vyjádřit buď jednoduchými součty nebo součiny a podíly mocninných funkcí, nebo diferenciálními vztahy s derivacemi do druhého řádu, vedoucími na součty, součiny a podíly nejen mocninných, ale i exponenciálních, logaritmických nebo goniometrických závislostí. (Diferenciální vztahy lze pochopitelně zapsat i v integrálním tvaru.) S nadsázkou lze říci, že řády derivací vyšší než 2 Bůh/příroda nepotřebuje. V některých veličinových rovnicích se též vyskytují číselné koeficienty.

Příklady veličinových rovnic:

1. ${\displaystyle p=b_{0}+h\rho g\,\!}$
2. ${\displaystyle E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$
3. ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=Q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})}$ resp. ${\displaystyle {\vec {F}}=Q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})}$
4. ${\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} V}}}$
5. ${\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {D}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {A}}=Q}$ resp. ${\displaystyle \oint _{S}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=Q}$
6. ${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p}$
7. ${\displaystyle y=r\mathrm {e} ^{-bt}\sin(\omega t+\varphi )}$

Z veličinových rovnic plynou i rovnice pro jednotky a rovnice pro číselné hodnoty.

Jednotkovou rovnicí rozumíme rovnici zapsanou jako vztah mezi jednotkami. Od veličinových rovnic se liší tím, že jsou v nich (v obecném zápisu) vynechány číselné koeficienty a matematické operátory derivování a integrace (protože derivování je limitní dělení, integrace součet limitních součinů) a součty (rozdíly) nahrazeny rovnostmi.

Klást do rovnosti lze pouze jednotky stejné kvality. Proto jednotkové rovnice slouží jako definiční rovnice nových jednotek. Protože je zvykem používat tzv. lineárních jednotek, tj. jednotek definovaných pouze vzájemnými součiny a podíly (tedy celočíselnými mocninami), nevyskytují se v jednotkových rovnicích lineárních jednotek ani žádné exponenciální, logaritmické nebo goniometrické funkce. Naopak je nutné, aby pro jejich argumenty platilo, že mají jednotku 1 (jedna), pro každý argument lze proto napsat další jednotkovou rovnici. Pro veličiny v argumentech goniometrických a exponenciálních funkcí se někdy zavádějí speciální úhlové resp. logaritmické jednotky.

Příklady jednotkových rovnic v obecném zápisu:

1. ${\displaystyle [p]=[b_{0}]=[h]\cdot [\rho ]\cdot [g]}$
2. ${\displaystyle [E_{k}]=[m]\cdot [v]^{2}}$
3. ${\displaystyle [F]=[Q]\cdot [E]=[Q]\cdot [v]\cdot [B]}$
4. ${\displaystyle [\rho ]={\frac {[m]}{[V]}}}$
5. ${\displaystyle [D]\cdot [A]=[Q]}$
6. ${\displaystyle {\frac {[U]}{[V]}}=[T]\cdot {\frac {[p]}{[T]}}=[p]}$
7. ${\displaystyle [y]=[r]\,\!}$

${\displaystyle [b]\cdot [t]=1}$

${\displaystyle [\omega ]\cdot [t]=[\varphi ]=1}$

Jednotky lze tedy vyjádřit jako vzájemné součiny (mocniny) a podíly jiných jednotek. V případě, že tyto definiční jednotkové vztahy konkrétních jednotek jsou bez dalších číselných koeficientů, hovoříme o vzájemně koherentních jednotkách. Nekoherentní jednotky (mimo jiné i tzv. násobky a díly) vyžadují ve veličinových rovnicích dodatečné číselné koeficienty.

Příklad poslední jednotkové rovnice z předchozích příkladů:

• v koherentních jednotkách

${\displaystyle [\omega ]=\mathrm {s} ^{-1}}$, ${\displaystyle [t]=\mathrm {s} }$

${\displaystyle \mathrm {s} ^{-1}\cdot \mathrm {s} =1}$

• v nekoherentních jednotkách

${\displaystyle [\omega ]=\mathrm {s} ^{-1}}$, ${\displaystyle [t]=\mathrm {min} }$

${\displaystyle \mathrm {s} ^{-1}\cdot {\tfrac {1}{60}}\,\mathrm {min} =1}$

nebo

${\displaystyle [\omega ]=\mathrm {s} ^{-1}}$, ${\displaystyle [t]=\mathrm {ms} }$

${\displaystyle \mathrm {s} ^{-1}\cdot 1000\,\mathrm {ms} =1}$

Rovnice mezi číselnými hodnotami jsou vztahy zapsané jako rovnice číselných hodnot vyjádřených v určitých jednotkách. U vektorově zapsaných veličinových rovnic existuje rovnice mezi číselnými hodnotami pro každou složku. Rovnice mezi číselnými hodnotami závisejí na volbě jednotek, kterým jednotlivé číselné hodnoty příslušejí. V těchto rovnicích musí být zachovány číselné koeficienty a dodrženy všechny matematické operace.

V případě nekoherentních jednotek je u příslušné číselné hodnoty nutno doplnit převrácenou hodnotu koeficientu z jednotkové rovnice u příslušné jednotky. Z tohoto důvodu je vhodné při vyčíslování fyzikálních vztahů provádět vše v koherentních jednotkách (dílčí hodnoty na ně převést) a teprve výsledek poté vyjádřit v požadované (i nekoherentní) jednotce, např. ve vhodně velkém dekadickém násobku.

V některých veličinových rovnicích se též vyskytují číselné koeficienty. Při zavádění nových veličin je snahou, aby výskyt těchto koeficientů byl ve fyzikálních vztazích minimalizován, a ve zbylých případech byl vyjádřen malými celými čísly, případně číslem ${\displaystyle \pi }$, a to pouze tam, kde jsou z jistých důvodů tyto koeficienty „oprávněné“. Hovoříme o tzv. racionalizaci.

Pozn.: Ne vždy jde totiž koeficienty beze zbytku odstranit. V každém jednotlivém vztahu toho sice docílit lze, ale díky vzájemné provázanosti prostřednictvím fyzikálních zákonů se „necitlivým“ odstraněním koeficientů v jednom vztahu objeví koeficienty v mnoha dalších vztazích.

Jako příklad rozumného koeficientu lze uvést polovinový koeficient ve druhém příkladu veličinové rovnice. Vznikl totiž jako integrační koeficient při integraci první mocniny rychlosti; zjednodušeně: ${\displaystyle \int mv\mathrm {d} v={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

Racionalizace je zejména diskutovaná u výrazů, kde se objevují sudé násobky ${\displaystyle \pi }$. Ty jsou projevem geometrických vlastností daných jevů. Koeficient ${\displaystyle 2\pi }$ (plný rovinný úhel) se „oprávněně“ vyskytuje u situací souvisejících s kruhovou symetrií v rovině (vztah mezi poloměrem a obvodem kruhu, vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí apod.) resp. válcovou symetrií v prostoru (magnetické pole přímého vodiče – Ampérův zákon). Koeficient ${\displaystyle 4\pi }$ (plný prostorový úhel) se „oprávněně“ vyskytuje u situací souvisejících s kulovou symetrií v prostoru (vztah mezi poloměrem a povrchem koule, elektrické pole bodového náboje – Coulombův zákon). U neracionalizovaných veličinových vztahů se však tyto koeficienty vyskytují i jinde, kde postrádají opodstatnění.

Příklad vlivu racionalizace:

veličinový vztah	racionalizovaný vztah	neracionalizovaný vztah
	Soustava SI	Soustava Gaussova (CGS)
Coulombův zákon ve vakuu	${\displaystyle F={\frac {1}{4\mathrm {\pi } \varepsilon _{0}}}{\frac {QQ^{\prime }}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F={\frac {QQ^{\prime }}{r^{2}}}}$
Elektrická indukce	${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}}$	${\displaystyle {\vec {D}}={\vec {E}}+4\mathrm {\pi } {\vec {P}}}$

Ve vztahu pro Coulombův zákon je koeficient ${\displaystyle 4\pi }$ „oprávněný“ vzhledem k všesměrové symetrii pole bodového náboje, ve vztahu pro elektrickou indukci naopak „neoprávněný“ (vztah platí i pro homogenní pole, kde ${\displaystyle 4\pi }$ nedává smysl).

Racionalizace je otázkou konvence. Například v soustavě SI jsou racionalizované vztahy elektromagnetických veličin, nikoli však vztahy pro gravitační silové působení.

Všechny fyzikální veličiny lze definovat pomocí několika málo tzv. základních veličin, které lze považovat za vzájemně nezávislé. Kolik veličin a které veličiny budeme považovat za základní, je věcí volby. Za základní veličiny se zpravidla volí ty, které popisují nejzákladnější, vzájemně nezávislé fyzikální aspekty reality.

V mechanice jsou těmito veličinami zpravidla tři následující:

• délka (vyjadřující základní geometrické vlastnosti materiálního světa a rozprostraněnost konkrétních i abstraktních materiálních objektů),
• čas (vyjadřující následnost událostí a umožňující vyjádření změn a pohybů),
• hmotnost (vyjadřující setrvačné vlastnosti hmotných objektů a charakterizující jejich schopnost gravitačně silově působit).

Pro oblast termiky a příbuzných jevů k těmto jednotkám přistupuje

• teplota (vyjadřující makroskopické projevy intenzity mikroskopického chaotického pohybu ustálených souborů velkého množství částic).

Pro oblast elektromagnetických jevů postačuje jediná další veličina. V historických a současných soustavách za ni byla volena zpravidla jedna z následujících:

• elektrický náboj (charakterizující schopnost hmotných objektů elektricky silově působit) nebo
• elektrický proud (charakterizující průchod náboje za jednotku času).

Je také možné vyjít z vybraného zákona elektromagnetického silového působení, nezavádět novou základní veličinu a definovat elektromagneticky specifické veličiny výhradně pomocí základních veličin mechaniky (toto je přístup všech variant elektromagnetických veličin a jednotek soustavy CGS).

V některých soustavách je z praktických důvodů zavedena specifická základní veličina pro (zpravidla velký) počet entit:

• látkové množství.

Praxe ukázala, že je vhodné pro oblast optiky oddělit od sebe zářivé vlastnosti obecného elektromagnetického vlnění (vyjadřované pomocí elektromagnetických a radiometrických veličin) a zářivé vlastnosti světla, tedy viditelné části tohoto záření. Z těchto důvodů se zpravidla doplňuje ještě jedna fotometrická základní veličina, například:

• svítivost nebo
• světelný tok.

Každé základní veličině přísluší jedna hlavní jednotka, tzv. základní jednotka. Pomocí základních jednotek jsou jednotkovými rovnicemi definovány hlavní jednotky všech odvozených veličin.

Závislost odvozené veličiny na veličinách základních můžeme vyjádřit fyzikálním rozměrem. Rozměr nějaké veličiny je dán součinem racionálních (zpravidla celočíselných či poločíselných) mocnin rozměrů základních veličin (téže soustavy jednotek). Exponenty v mocninách základních veličin nazýváme rozměrovými exponenty. Rozměr je proti definiční veličinové rovnici zjednodušeným výrazem, pro svou jednoduchost je však velmi výhodný a hraje významnou úlohu v oboru fyzikální podobnosti a v teorii dimenzí.

Rozměr veličiny X obecně zapisujeme jako dim X.

Rozměrové symboly základních veličin zapisujeme zpravidla stojatými velkými písmeny, odpovídající písmenu značky (symbolu) veličiny. V SI jsou to:

• L pro délku
• M pro hmotnost
• T pro čas
• I pro elektrický proud
• Θ pro teplotu
• N pro látkové množství
• J pro svítivost

Rozměrový součin pak zapíšeme tak, jak ukazují následující příklady pro rychlost a pro tepelnou vodivost:

• dim v = L T⁻¹ nebo dim v = L¹ M⁰ T⁻¹ I⁰ Θ⁰ N⁰ J⁰
• dim Λ = L² M T⁻³ Θ⁻¹ nebo dim Λ = L² M¹ T⁻³ I⁰ Θ¹ N⁰ J⁰

Pozn.: Soustavy, které nemají samostatnou základní jednotku pro elektromagnetické jevy, mohou mít rozměrové exponenty polovinové. Naproti tomu soustava SI má všechny rozměrové exponenty důsledně celočíselné.

Veličiny, jejichž všechny rozměrové exponenty jsou nulové, nazýváme bezrozměrovými, nebo říkáme, že mají rozměr 1 (jedna).

Rozměr popisuje pouze vztah veličiny k základním veličinám, necharakterizuje však její podstatu. Stejný rozměr mohou mít i veličiny zcela rozdílného charakteru (například teplo a moment síly).

Obecná rozměrová rovnice se vytvoří z veličinové rovnice podle stejných zásad, jako rovnice jednotkové s tím, že místo symbolů jednotky dané veličiny [X] píšeme symboly rozměru dim X. Vyčíslením ve tvaru rozměrových součinů pak lze rozměrovou rovnicí provést jistou částečnou zkoušku kvalitativní správnosti veličinové rovnice.

Vedle jediné koherentní jednotky pro každou veličinu soustavy (tzv. hlavní jednotky) je pro praktické použití vhodné zavádět názvy a symboly i pro vybrané násobky a díly této hlavní jednotky, abychom nemuseli uvádět číselné hodnoty s mnoha řády. Protože se používá dekadický zápis čísel, jsou ve všech moderních soustavách používány dekadické násobky a díly. Ustálilo se jejich tvoření pomocí předpon k hlavním jednotkám, které mají své značky, připojované zleva ke značce hlavní jednotky. Přehled podává následující tabulka:

Některé odvozené veličiny jsou si podobné svým charakterem a způsobem svého odvození a mají proto i obdobné názvy. Mezi takové skupiny stejně nazývaných veličin patří například:

• součinitele a činitele

Je-li za určitých okolností veličina A úměrná veličině B (${\displaystyle A=k\cdot B}$), nazývá se veličina k zpravidla součinitel (někdy též modul), mají-li A a B různé rozměry, a činitel, mají-li rozměry stejné.

Příklady: teplotní součinitel délkové roztažnosti, Hallův součinitel, součinitel difuze, součinitel přestupu tepla; modul pružnosti v tahu; činitel vazby, činitel tření, činitel pohltivosti

• konstanty

jsou fyzikální veličiny, které jsou stejné buď za všech okolností (tzv. univerzální konstanty), nebo pro danou látku (tzv. látkové konstanty) nebo za jistých okolností.

Příklady: gravitační konstanta, Planckova konstanta, Boltzmannova konstanta; rozpadová konstanta (určitého nuklidu); rovnovážná konstanta chemické reakce (závisí na reagentech i teplotě).

• extenzivní veličiny s přídavným jménem měrný nebo hmotnostní

znamenají podíl této veličiny a hmotnosti.

Příklady: měrná tepelná kapacita, měrná entropie, hmotnostní aktivita

• extenzivní veličiny s přídavným jménem molární

znamenají podíl této veličiny a látkového množství.

Příklady: molární objem, molární tepelná kapacita, molární entropie

• extenzivní veličiny s přídavným jménem objemový nebo s předcházejícím výrazem hustota

znamenají podíl této veličiny a objemu.

Příklady: objemová hmotnost = hustota (hmotnosti), hustota elektrického náboje, objemová energie = hustota energie

• extenzivní veličiny s přídavným jménem délkový nebo s předcházejícím výrazem lineární hustota

znamenají podíl této veličiny a délky.

Příklady: délková hmotnost, lineární hustota elektrického náboje

• extenzivní veličiny s přídavným jménem plošný nebo s předcházejícím výrazem plošná hustota

znamenají podíl této skalární veličiny a plochy (povrchu).

Příklady: plošná hmotnost, plošná hustota elektrického náboje

• veličiny vyjadřující tok nebo proud s předcházejícím výrazem hustota

znamenají podíl této veličiny a plochy povrchu, kterou protéká.

Příklady: hustota tepelného toku, hustota elektrického proudu, hustota proudu částic

• a naopak vektorové veličiny spojitě rozložené (vektorová pole) s předcházejícím výrazem tok

znamenají součin plochy a složky této veličiny ve směru normály, či obecněji ${\displaystyle \int _{S}{\vec {V}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$.

Příklady: tok intenzity elektrického pole, magnetický indukční tok (= tok magnetické indukce)

• extenzivní veličiny týkající se látky ve směsi s předcházejícím výrazem koncentrace

znamenají podíl této veličiny a celkového objemu směsi.

Příklady: koncentrace (látkového množství), hmotnostní koncentrace

• zlomky

jsou bezrozměrné veličiny pro zastoupení látky (složky) ve směsi, definované jako podíl hodnoty jisté extenzivní veličiny (jejíž název ve tvaru přídavného jména předchází výrazu zlomek) pro danou složku a hodnoty této veličiny pro celou směs.

Příklady: hmotnostní zlomek, molární zlomek

Jak již bylo výše řečeno u jednotkových rovnic, argument goniometrických funkcí má jednotku 1 a je bezrozměrný. Vyjadřuje nejčastěji veličinu zvanou fáze (u periodických jevů) nebo rovinný úhel (např. u rotačního pohybu).

Rovinný úhel je proto bezrozměrná veličina. Je definovaná jako podíl délky oblouku kružnice vytknutého tímto rovinným úhlem s vrcholem v jejím středu a poloměrem této kružnice. Někdy se místo jednotky 1 používá speciální název radián (značka rad). Plný rovinný úhel tedy je podílem obvodu kružnice a jejího poloměru a činí ${\displaystyle 2\pi }$. Tato hodnota se proto vyskytuje ve veličinových rovnicích u situací souvisejících s kruhovou symetrií v rovině resp. válcovou symetrií v prostoru.

Podobně prostorový úhel je bezrozměrná veličina, definovaná jako podíl plochy vytknuté tímto prostorovým úhlem na povrchu koule s vrcholem v jejím středu a druhé mocniny poloměru této koule. Někdy se místo jednotky 1 používá speciální název steradián (značka sr). Plný prostorový úhel tedy je podílem povrchu koule a jejího poloměru a činí ${\displaystyle 4\pi }$. Tato hodnota se proto vyskytuje ve veličinových rovnicích u situací souvisejících s kulovou symetrií v prostoru.

Obě úhlové veličiny měly dříve v soustavě SI postavení blízké základním veličinám; byly nazývány doplňkovými veličinami s vlastním rozměrovým symbolem (α resp. Ω) a radián a steradián doplňkovými jednotkami. V současnosti se od toho upustilo a oba úhly jsou odvozenými bezrozměrnými veličinami.

Jak již bylo výše řečeno u jednotkových rovnic, argument exponenciálních funkcí má jednotku 1 a je bezrozměrný. U periodických tlumených nebo zesilovaných jevů vyjadřuje veličinu zvanou logaritmický dekrement tlumení nebo logaritmický inkrement zesílení. V tomto případě se často místo jednotky 1 používá speciální název neper (značka Np).

Jednotka neper se používá všude tam, kde zesílení/zeslabení amplitudy periodického děje vyjadřujeme místo podílu amplitud logaritmickou funkcí tohoto podílu. Takto definovaná funkce dvou hodnot jisté veličiny se zpravidla nazývá hladina této veličiny a je definována dvěma způsoby:

• Hladina „veličiny pole“ se definuje jako (přirozený) logaritmus poměru dvou amplitud:

${\displaystyle L_{F}=\ln {\frac {F}{F_{0}}}}$

„Veličinou pole“ se přitom může rozumět např. intenzita el. pole, magnetická indukce, el. proud, el. napětí, akustický tlak.

Hladina „veličiny pole“ je 1 Np, je-li hodnota „veličiny pole“ F e-krát větší než referenční hodnota F₀.

• Hladina „veličiny výkonu“ se definuje jako jedna polovina (přirozeného) logaritmu poměru dvou „výkonů“ (tj. veličin úměrných dvojmoci amplitudy „veličiny pole“):

${\displaystyle L_{P}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {P}{P_{0}}}}$

„Veličinou výkonu“, tj. veličinou úměrnou dvojmoci amplitudy „veličiny pole“, se přitom může rozumět např. výkon elektrického proudu, zářivá energie nebo výkon elektromagnetického vlnění, akustický výkon nebo akustická intenzita (dříve intenzita zvuku).

Hladina „veličiny výkonu“ je 1 Np, je-li hodnota „veličiny výkonu“ P e²krát větší než referenční hodnota P₀ (tj. hodnota „veličiny pole“, jejíž dvojmoci je „veličina výkonu“ úměrná, opět e-krát větší než referenční hodnota).

Rozdílnou definicí obou hladin je zajištěno, že v každém jednotlivém konkrétním případě mají stejnou velikost:

${\displaystyle L_{P}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {P}{P_{0}}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {F^{2}}{F_{0}^{2}}}=\ln {\frac {F}{F_{0}}}=L_{F}}$

U  akustických veličin se často používá definice hladiny pomocí dekadického logaritmu, pak se místo jednotky neper používá jednotky bel (značka B).

• Hladina „veličiny pole“:

${\displaystyle L_{F}=2\log {\frac {F}{F_{0}}}}$

Hladina „veličiny pole“ je 1 B, je-li hodnota „veličiny pole“ F ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$-krát větší než referenční hodnota F₀.

• Hladina „veličiny výkonu“

${\displaystyle L_{P}=\log {\frac {P}{P_{0}}}}$

Hladina „veličiny výkonu“ je 1 B, je-li hodnota „veličiny výkonu“ P 10krát větší než referenční hodnota P₀ (tj. hodnota „veličiny pole“, jejíž dvojmoci je „veličina výkonu“ úměrná, opět ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$-krát větší než referenční hodnota).

• V technické praxi se častěji používá desetina jednotky bel, 1 decibel. Pak se definiční vztahy hladin liší násobkem 10:

${\displaystyle L_{F}=20\log {\frac {F}{F_{0}}}}$

${\displaystyle L_{P}=10\log {\frac {P}{P_{0}}}}$