Teorie míry

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá problémem matematického uchopení pojmu velikosti (délky, plochy a objemu, případně kvantity). Teorie míry zobecňuje uvedené pojmy na složitější množiny, než jsou „normální množiny bodů“ v prostoru, kterým lze přiřadit velikost. Má úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti. Lebesgueova integrace je teoretickým základem integrálního počtu, ale i teorie pravděpodobnosti. Například díky teorii míry lze střední hodnotu náhodné veličiny chápat jako integrál určité měřitelné funkce.

Výchozím bodem je přesné vymezení oblasti studia na základě axiomatické teorie množin. Banachův-Tarského paradox ukazuje, jaké nebezpečí hrozí, pokud vyjdeme z naivního pojetí „velikosti množiny“; z rozumně vypadajících předpokladů je možné dospět k tak paradoxním tvrzením, jako že všechna tělesa mají stejný objem.