Rotace (operátor)

Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor rotace splňuje následující identity:

Je lineární vůči reálným číslům

${\displaystyle \nabla \times \left(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} \right)=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} }$.

Rotace gradientu je nulový vektor

${\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathrm {rot} \,\mathrm {grad} \,f=\mathbf {0} }$.

Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí) je

${\displaystyle \nabla \times \left(f\mathbf {F} \right)=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} }$.

Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)=\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} -\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} +\mathbf {F} \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)-\mathbf {G} \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)}$,

kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)-\Delta \mathbf {F} }$.

Následující vztahy udávají vyjádření rotace v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({1 \over r}{\partial F_{z} \over \partial \varphi }-{\partial F_{\varphi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left({\partial F_{r} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial r}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{1 \over r}\left({\partial (rF_{\varphi }) \over \partial r}-{\partial F_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {z}}}}$

Ve sférických souřadnicích:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(F_{\varphi }\sin \theta )-{\partial F_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial F_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rF_{\varphi })\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rF_{\theta })-{\partial F_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{3}}}\right){\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}}$

${\displaystyle +\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{3}}}\left({\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial \left(h_{3}F_{3}\right)}{\partial x_{1}}}\right){\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}}$

${\displaystyle +\ \ \ \ \ {\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial \left(h_{2}F_{2}\right)}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \left(h_{1}F_{1}\right)}{\partial x_{2}}}\right){\boldsymbol {\hat {x}}}_{3}}$

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

${\displaystyle \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)^{i}{\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}}=\left(\varepsilon ^{ijk}F_{k,j}\right){\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}},}$

kde ${\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}$ je Levi-Civitův pseudotenzor.

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

• Parciální derivace

• Rotace v Multimediálním kurzu aplikované matematiky