Kvantová mechanika

Předkvantovou érou (též nultou kvantovou érou) se rozumí období do roku 1900, v němž byly položeny teoretické otázky a experimentálně objeveny jevy, které se nepodařilo vysvětlit v rámci tehdejší klasické fyziky a jejich uspokojivé vysvětlení bylo podáno až v rámci staré nebo moderní kvantové mechaniky, tedy v první nebo druhé kvantové éře. Příkladem tehdy nevysvětlených jevů jsou: záření černého tělesa popsaný Gustavem Kirchhoffem v roce 1860 a objev fotoelektrického jevu Heinrichem Hertzem v roce 1887.

Max Planck

Obdobím staré kvantové mechaniky (též první kvantová éra) se nazývá období v letech 1900 až 1925, v němž byly kvantové jevy vysvětlovány v rámci klasické fyziky, do níž byly přidávány dodatečné principy. Stará kvantová mechanika tedy neměla vlastní matematický aparát a byla součástí klasické fyziky.

Kvantová mechanika dostala jméno podle myšlenky naznačené Maxem Planckem v roce 1900, podle níž energie elektromagnetického záření je přenášena po nepatrných, ale konečně velkých, kvantech (z latinského „quantum“, kolik) ${\displaystyle E=h\nu }$, kde ${\displaystyle h}$ je Planckova konstanta a ${\displaystyle \nu }$ je frekvence záření. Díky této kvantové hypotéze se Planckovi podařilo beze zbytku vysvětlit záření černého tělesa odvozením Planckova vyzařovacího zákona[7], za který dostal v roce 1918 Nobelovu cenu za fyziku[8]. Planck je za tento první výsledek kvantové fyziky považován za zakladatele kvantové mechaniky.

V roce 1905 použil kvantovou hypotézu Albert Einstein a vysvětlil fotoelektrický jev[9], za což mu byla udělena Nobelova cena za rok 1921. Dalším důležitým krokem pro další vývoj kvantové teorie byl Bohrův model atomu z roku 1913[10], který vysvětloval rozložení spektrálních čar vodíku pomocí předpokladu, že moment hybnosti elektronu nemůže nabývat libovolných hodnot, ale je vždy celistvým násobkem Planckovy konstanty. Mezi další základní myšlenky staré kvantové mechaniky patřila de Broglieho hypotéza (též korpuskulárně-vlnový dualismus 1923[11]), uvažující u veškeré látky dvojí podstatu, vlnovou a částicovou. Tato hypotéza pomáhala interpretaci interferenčních jevů při rozptylu částic, v té době především elektronů (např. Youngův experiment prováděný s různými typy částic).

V počátku dvacátých let 20. století bylo již zřejmé, že do té doby nesystematicky a do značné míry libovolně aplikovaná pravidla kvantování, přidávaná ke klasické mechanice pro vysvětlení některých mikroskopických jevů, budou vyžadovat vytvoření nové konzistentní fyzikální teorie, značně odlišné od dosavadní fyziky. Tou se později stala moderní kvantová mechanika.

Obdobím moderní kvantové mechaniky (též druhá kvantová éra) se nazývá období od roku 1925 do současnosti. V tomto období má kvantová mechanika vlastní matematický aparát odlišný od klasické fyziky. Klasická fyzika se podle principu korespondence považuje za limitní případ kvantové mechaniky.

První kvantovou mechanikou v moderním slova smyslu byla Heisenbergova maticová kvantová mechanika z roku 1925, která umožnila zobecnit v klasické mechanice používané Hamiltonovy rovnice tak, aby byly použitelné pro novou teorii. V této nové teorii Heisenberg popisoval systém stavovým vektorem a měřitelné veličiny nekonečně-rozměrnými maticemi[12].

O necelý rok později, v roce 1926, publikoval Erwin Schrödinger, vlnovou kvantovou mechaniku, kde systém popsal komplexní vlnovou funkcí a měřitelné veličiny lineárními operátory.[13]. Součástí vlnové kvantové mechaniky uveřejnil Schrödinger i vlnovou rovnici, Schrödingerovu rovnici, umožňující popsat vývoj vlnové funkce v čase.

Schrödinger brzy rozpoznal, že jeho vlnová kvantová mechanika je ekvivalentní Heisenbergově maticové kvantové mechanice (vlnová funkce odpovídá stavovému vektoru, lineární operátory odpovídají nekonečně-rozměrným maticím, atd.) a že obě teorie předpovídají stejné výsledky.[14] V dnešní době se pro výpočty z praktických důvodů používá častěji vlnová kvantová mechanika, protože výpočty s nekonečně rozměrnými maticemi zpravidla nejsou triviální. Terminologie obou formulací kvantové mechaniky se používá dodnes.

Kvantová mechanika se pak velmi rychle stala akceptovanou díky vynikající shodě předpovědí s experimentálně získanými daty, ovšem v oblasti interpretace zůstávala spornou (viz níže).

Se stavem, v jakém byla kvantová mechanika, nebyli spokojeni nejen ostatní fyzikální odborná veřejnost, ale také osobnosti, které se na kvantové mechanice přímo samy podílely. Nejznámějším oponentem moderní kvantové mechaniky byl jeden ze spoluautorů staré kvantové mechaniky, Albert Einstein. Einstein je v souvislosti s oponenturou kvantové mechaniky znám především jako autor citátu: „Bůh nehraje v kostky“, kterým vyjádřil svůj postoj k pravděpodobnostnímu charakteru kvantové mechaniky. Dále je Einstein znám jako spoluautor jednoho z nejcitovanějších fyzikálních článků vůbec[24], EPR článku, který souvisí s kvantovou provázaností (entanglementem) částic.[25] To, že byl Einstein přesvědčen, že kvantová mechanika je neúplnou teorií, nemění nic na faktu, že se v dlouhých diskusích s Bohrem v letech 1925–1935 zasloužil o upevnění (Kodaňské interpretace) kvantové mechaniky, byť byl jejím odpůrcem. Bohr o jeho zásluhách řekl: „Měl jsem tu čest diskutovat s Einsteinem epistemologické problémy, které vyvolal moderní vývoj atomové fyziky… a ačkoliv [mezi námi] nebylo dosud dosaženo úplné shody, jsou pro mne tyto diskuse neocenitelné a podnětné.“[26]

Mezi další známé osobnosti, které nebyly spokojeny se stavem kvantové mechaniky, patřil Erwin Schrödinger. Ten jednou v rozhovoru s Bohrem prohlásil: „Jestli se musí dál pokračovat s těmito zatracenými kvantovými skoky, pak lituji, že jsem kdy začal pracovat na atomové teorii.“ Načež Bohr odvětil: „Ale my ostatní jsme Vám velmi vděčni, že jste tím posunul atomovou fyziku o rozhodující krok vpřed.“[27]

Kvantovou mechaniku lze založit například na následující sadě postulátů[28][29]:

1. Postulát o stavovém vektoru (vlnové funkci) – Stav systému v čase ${\displaystyle t_{0}}$ je popsán stavovým vektorem ${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$ z Hilbertova prostoru všech stavových vektorů, přičemž libovolný komplexní nenulový násobek tohoto vektoru popisuje stejný stav.
2. Postulát o operátorech – Každá měřitelná fyzikální veličina ${\displaystyle A}$ je popsatelná lineárním hermiteovským operátorem ${\displaystyle {\hat {A}}}$, který působí na stavový vektor ${\displaystyle |\psi \rangle }$.
3. Postulát o kvantování – Jediné možné naměřitelné hodnoty fyzikální veličiny ${\displaystyle A}$ jsou vlastní čísla operátoru ${\displaystyle {\hat {A}}}$, neboli množina všech naměřitelných hodnot je ${\displaystyle \{a_{n}|\,{\hat {A}}|\psi \rangle =a_{n}|\psi \rangle \}}$.
4. Postulát o redukci stavového vektoru – Pokud měření fyzikální veličiny ${\displaystyle A}$ na systému ve stavu ${\displaystyle |\psi \rangle }$ dalo výsledek ${\displaystyle a_{n}}$, pak se stav systému okamžitě změnil na podprostor příslušný danému vlastnímu číslu ${\displaystyle a_{n}}$: ${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow {\frac {{\hat {P}}_{n}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |{\hat {P}}_{n}|\psi \rangle }}},}$ kde ${\displaystyle {\hat {P}}_{n}}$ je projekční operátor příslušející vlastnímu číslu ${\displaystyle a_{n}}$. V případě nedegenerovaného spektra je podprostor příslušející vlastnímu číslu vlastní vektor ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ splňující ${\displaystyle {\hat {A}}|\psi _{n}\rangle =a_{n}|\psi _{n}\rangle }$.
5. Postulát o Schrödingerově rovnici – Časový vývoj stavového vektoru ${\displaystyle |\psi \rangle }$ se řídí časovou Schrödingerovou rovnicí: ${\displaystyle i\hbar {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}(t)|\psi \rangle ,}$ kde ${\displaystyle i}$ je imaginární jednotka, ${\displaystyle \hbar }$ je Planckova redukovaná konstanta a ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$ je Hamiltonián, neboli operátor energie.
6. Postulát o kvantovacích pravidlech – Je-li pro ${\displaystyle j=1,2,3}$ souřadnice polohy ${\displaystyle x_{j}}$ popsatelná pozorovatelnou ${\displaystyle {\hat {X}}_{j}}$ a složka hybnosti ${\displaystyle p_{j}}$ popsatelná pozorovatelnou ${\displaystyle {\hat {P}}_{j}}$, pak pozorovatelnou ${\displaystyle {\hat {A}}}$, jež popisuje klasicky definovanou fyzikální veličinu ${\displaystyle A}$, lze získat vhodnou symetrizací výrazu ${\displaystyle A(x,p)}$ a následným nahrazením ${\displaystyle {\hat {X}}_{j}}$ za ${\displaystyle x_{j}}$ a nahrazením ${\displaystyle {\hat {P}}_{j}}$ za ${\displaystyle p_{j}}$.
7. Postulát o nerozlišitelnosti částic – Systém nerozlišitelných částic lze popsat pouze stavovým vektorem: symetrickým v případě bosonů, popř. antisymetrickým v případě fermionů.

Z postulátů kvantové mechaniky je zřejmé, že v kvantové mechanice existují dva druhy procesů[30]:

1. von Neumannův proces 1. druhu – představuje proces měření, které je okamžitý a nevratný.
2. von Neumannův proces 2. druhu – představuje proces časového vývoje vlnové funkce. Proces je v čase, je lineární a je vratný.

Zatímco von Neumannův proces 2. druhu je v kvantové mechanice plně pochopen, u von Neumannova procesu 1. druhu, neboli procesu měření, tomu tak není. Konkrétně se není zřejmé, kdy k měření dochází a co jej způsobuje. Tento problém se nazývá problém měření a byl podnětem k vytvoření mnoha interpretací kvantové mechaniky, které se s k problému postavily různým způsobem. Některé interpretace postulát o redukci vlnové funkce pozměnily, jiné jej zcela odstranily.

Časový vývoj v kvantové mechanice lze vyjádřit třemi rovnocennými způsoby neboli reprezentacemi[31] (horní index určuje reprezentaci):

• Schrödingerova reprezentace – Stavový vektor se vyvíjí v čase, ${\displaystyle |\psi ^{S}\rangle =|\psi ^{S}(t)\rangle }$, zatímco operátory jsou konstantní ${\displaystyle {\hat {A}}^{S}=konst.}$. Pohybová rovnice (pro stavový vektor) je Schrödingerova rovnice.
• Heisenbergova reprezentace – Stavový vektor je konstantní, ${\displaystyle |\psi ^{H}\rangle =konst.}$, zatímco operátory se vyvíjí v čase ${\displaystyle {\hat {A}}^{H}={\hat {A}}^{H}(t)}$. Pohybovou rovnicí (pro operátor) je Heisenbergova rovnice.
• Diracova reprezentace – Stavový vektor i operátory se vyvíjí v čase, ${\displaystyle |\psi ^{D}\rangle =|\psi ^{D}(t)\rangle }$, ${\displaystyle {\hat {A}}^{D}={\hat {A}}^{D}(t)}$.

Každý z těchto popisů časového vývoje je vhodný pro jiný typ kvantově mechanických výpočtů. Nejčastěji se používá Schrödingerova reprezentace, protože Heisenbergova reprezentace vede na diferenciální rovnice pro operátory a Diracova reprezentace je vhodná spíše pro kvantovou teorii pole.

• Kvantová fyzika
• Kvantování
• Kvantové číslo
• Absolutně černé těleso
• Fotoelektrický jev
• Comptonův jev
• Lineární harmonický oscilátor
• Spin
• Interpretace kvantové mechaniky

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kvantová mechanika na Wikimedia Commons
• Téma Quantum mechanics ve Wikicitátech (anglicky)

• Tomáš Tyc:Základy kvantové mechaniky, pdf
• Ladislav Hlavatý: Slabikář kvantové mechaniky 6. února 2009, fjfi.cvut.cz