Tenzor

Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. $T_{kl\cdots n}$ .

Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel $T_{{i_{1}}{i_{2}}\cdots {i_{n}}}$ (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru a které se při transformaci souřadnic $x_{i}^{\prime }=\sum _{j}a_{ij}x_{j}$ transformují následujícím způsobem:

T_{{i_{1}}{i_{2}}\cdots {i_{n}}}^{\prime }=\sum _{{k_{1}}{k_{2}}\cdots {k_{n}}}a_{{i_{1}}{k_{1}}}a_{{i_{2}}{k_{2}}}\cdots a_{{i_{n}}{k_{n}}}T_{{k_{1}}{k_{2}}\cdots {k_{n}}}

Tato transformace tenzorů je multilineární zobrazení, tedy zobrazení, které je lineární v každé složce. Podobně jako vektor je tenzor, jakožto samostatný objekt vůči reprezentaci v dané soustavě souřadnic invariantní. Jeho složky (tedy konkrétní reprezentace) však, stejně jako u vektoru, závisí na volbě souřadnic.

Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu. Rozlišujeme pak dále indexi kovariantní (dolní) a kontravariantní (horní). Má-li tenzor n kovariantních a m kontravariantních složek jeho index je n+m a jedná se o tenzor typu (n,m). Metrický tenzor $g_{\mu \nu }$ má dvě kovariantní složky, jeho index je tak 2 a typ (0,2). Důvodem pro rozlišování kovariantních a kontravariantních složek je jejich vzájemná odlišnost v transformačních pravidlech.

Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.

Máme-li např. dva vektory $\mathbf {A} ,\mathbf {B}$ , můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem $T_{ij}=A_{i}B_{j}$ . Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.

T_{kl}^{\prime }=A_{k}^{\prime }B_{l}^{\prime }=\left(\sum _{i}a_{ki}A_{i}\right)\left(\sum _{j}a_{lj}B_{j}\right)=\sum _{i,j}a_{ki}a_{lj}A_{i}B_{j}=\sum _{i,j}a_{ki}a_{lj}T_{ij}

Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry, a tenzory prvního řádu, tedy vektory.

Ve fyzice se tenzory druhého řádu obvykle reprezentují jako matice, ale ne všechny matice jsou fyzikálně smysluplnými tenzory.[1]

Definice

Mějme vektorový prostor $\mathbf {V}$ nad tělesem $\mathbb {T}$ a k němu jeho duální prostor $\mathbf {V^{*}}$ . Tenzor $T$ typu (n,m) je zobrazení

$T_{m}^{n}:\mathbf {V^{*}} \times \cdots \times \mathbf {V^{*}} \times \mathbf {V} \times \cdots \times \mathbf {V} \to \mathbb {T}$

( $\mathbf {V}$ m-krát $\mathbf {V^{*}}$ n-krát), které je lineární v každém ze svých n+m argumentů.

Je nutné dodat, že pořadí vektorového prostoru po jeho duálu je častější v anglické literatuře a naopak méně časté v tuzemní.

Odkazy

Reference

Are Square Matrices Always Tensors?: A Counter Example [online]. Andrew Dotson – Youtube, 2018-11-09 [cit. 2021-04-28]. Video. Dostupné online. (anglicky)

Související články

Tenzorový součin

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu tenzor na Wikimedia Commons

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Are Square Matrices Always Tensors?: A Counter Example [online]. Andrew Dotson – Youtube, 2018-11-09 [cit. 2021-04-28]. Video. Dostupné online. (anglicky)