Skalární součin

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

• ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$ – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace.
• ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$ – značení běžné ve funkcionální analýze.
• ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$ – starší značení, dnes již méně používané.
• ${\displaystyle b\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$ – b jako bilineární forma
• ${\displaystyle \langle \mathbf {v} \mid \mathbf {u} \rangle }$ – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×V → T  je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}$ a všechna ${\displaystyle a\in T}$ následující podmínky:

1. ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}$
2. ${\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$
3. ${\displaystyle (a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=a\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$
4. ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )\geq 0}$
5. ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0\iff \mathbf {v} =\mathbf {0} }$

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí  ${\displaystyle {\overline {x}}=x.}$

• v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.

${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}$

• ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí

${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}$

• pro komplexní a platí

${\displaystyle (\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )={\overline {a}}\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$

• vektory u, v nazýváme ortogonálními vektory, pokud splňují vztah

${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}$

• jestliže množina ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ vyhovuje vztahu

${\displaystyle (\mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k})=\delta _{jk}}$,  kde ${\displaystyle \delta _{jk}}$ je Kroneckerovo delta,

pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.

Geometrická interpretace skalárního součinu.

• pomocí skalárního součinu lze definovat normu vektoru, tzv.

norma generovaná skalárním součinem:

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|={\sqrt {(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )}}}$

• z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů u, v součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {u} \|\,\|\mathbf {v} \|\cos \alpha }$,

kde ${\displaystyle \alpha }$ je úhel, který svírají vektory u, v.

• pro dva vektory ${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}\mathbf {e} _{i},\,\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}}$

(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi ${\displaystyle \mathbf {e} }$) lze skalární součin definovat jako

${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i,j=1}^{n}(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})u^{i}{\overline {v^{j}}}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}u^{i}{\overline {v^{j}}}}$,

kde ${\displaystyle g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})}$ je metrický tenzor (v tomto případě matice).

• pro dvě posloupnosti ${\displaystyle a,b:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ můžeme definovat skalární součin jako řadu

${\displaystyle (a,b)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\overline {b_{i}}}}$

pokud řada konverguje.

• skalární součin funkcí ${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)\cdot {\overline {g(x)}}dx}$ pokud integrál konverguje. (meze integrace jsou obvykle ${\displaystyle 0,\pm \infty ,\pm 1,\pm \pi }$)

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32}$.

• Vektor
• Vektorový součin
• Smíšený součin