Gradient (matematika)

Jsou-li F,G vektorová pole, f,g funkce, a,b reálná čísla, má gradient následující vlastnosti:

Je lineární vůči reálným číslům

${\displaystyle \nabla \left(af+bg\right)=a\nabla f+b\nabla g\,,}$

splňuje Leibnizovo pravidlo pro funkce

${\displaystyle \nabla \left(fg\right)=\left(\nabla f\right)g+f\nabla g\,,}$

gradient skalárního součinu vektorů splňuje

${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)=\nabla \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} +\nabla \mathbf {G} \cdot \mathbf {F} ,}$

kde ${\displaystyle \nabla \mathbf {F} }$ chápeme jako matici a výsledek jako sloupcový vektor.

Následující vztahy udávají vyjádření gradientu v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích a stříškované tučné znaky souřadnic jsou jednotkové vektory báze v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

${\displaystyle \nabla {f}={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$

Ve sférických souřadnicích:

${\displaystyle \nabla {f}={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃

${\displaystyle \nabla {f}={\frac {1}{h_{1}}}{\partial f \over \partial x_{1}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\partial f \over \partial x_{2}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\partial f \over \partial x_{3}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{3}.}$

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru gradientu platí

${\displaystyle \nabla {f}=f_{;k}{\boldsymbol {\mathrm {d} }}x^{k},\nabla {f}=f_{;i}g^{ik}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}=f^{;k}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}}$

Zde je potřeba podotknout, že zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou.

• Operátor
• Parciální derivace
• Nabla

• Obrázky, zvuky či videa k tématu gradient na Wikimedia Commons