Vektorový součin

Vektorový součin je v matematice binární operace vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár). Výsledný vektor je kolmý k oběma původním vektorům.

Značení

Vektorový součin vektorů a, b se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b}$
$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ - používáno ve frankofonních zemích
$[\mathbf {a} \mathbf {b} ]$ - používáno v Rusku
$[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ]$

Definice

Vektorový součin vektorů a a b je definován jako vektor kolmý k vektorům a a b s velikostí rovnou obsahu rovnoběžníka, který oba vektory určují:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \alpha

kde α je úhel svíraný vektory a a b (0° ≤ α ≤ 180°) a n je jednotkový vektor k nim kolmý. Takové jednotkové vektory však existují dva; volba závisí na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor a znázorněn ukazovákem a vektor b prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je natažený v rovině dlaně a prostředník směřuje blíže k rovině na dlaň kolmé, pak vektorový součin a×b je ve směru palce.

Vektorový součin

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin c = a×b, pak složky vektoru c lze určit jako

c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}

c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}

c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako

c_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}

S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic $3\times 3$

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\qquad \longleftrightarrow \qquad A=\left({\begin{array}{rrr}0&a_{3}&-a_{2}\\-a_{3}&0&a_{1}\\a_{2}&-a_{1}&0\end{array}}\right)

lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic

\left({\begin{array}{rrr}0&c_{3}&-c_{2}\\-c_{3}&0&c_{1}\\c_{2}&-c_{1}&0\end{array}}\right)=C=BA-AB=\left({\begin{array}{ccc}0&a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}&-(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\\-(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})&0&a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}&-(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})&0\end{array}}\right).

Množina antisymetrických matic $3\times 3$ je vzhledem ke komutátoru uzavřená.

Zobecnění při zachování bilinearity

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu

d_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení

d_{23}=-d_{32}=c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}

d_{31}=-d_{13}=c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}

d_{12}=-d_{21}=c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}

d_{11}=d_{22}=d_{33}=0

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)

Přímočaré zobecnění, není-li požadována binárnost

Víme, že ve 3D se vektorový součin chová tak, že výsledkem je vektor kolmý na oba argumenty součinu a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku utvořeného z argumentů. Vstupní vektory a výsledek (v tomto pořadí) tvoří přitom pravotočivou bázi.

Tato definice nabízí přímočaré a mnohdy pro svou užitečnost používané zobecnění. V nD prostoru bude tedy vektorový součin vracet vektor kolmý na zadaných (n-1) vektorů. Jeho velikost bude rovna objemu (n-1) rozměrného rovnoběžnostěnu z těchto vektorů utvořeného. Orientaci zvolíme tak, aby posloupnost n vektorů, kde prvních (n-1) odpovídá zadaným argumentům a n-tý je výsledek, tvořila pravotočivou bázi.

Lze ukázat, že výsledný vektor je pak dán takto:

\bigwedge (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n+1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n}{}^{1}&\cdots &v_{n}{}^{n+1}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n+1}\end{vmatrix}}.

Kde symbolem $\bigwedge$ značíme zobecněný vektorový součin, dolní index označuje pořadové číslo vektoru a horní čísluje jeho složky. Je zřejmé, že pro n=2 přejde vzorec ve známý vztah z 3D.

Ve složkách lze výsledný vektor zapsat dle pravidla o rozvoji determinantu takto

\bigwedge (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})=((-1)^{n}D_{1},(-1)^{n+1}D_{2},\cdots ,(-1)^{n+n}D_{n+1})

,

kde bylo použito označení $D_{i}$ pro determinant matice utvořený s n vektorů, ve který má každý vektor vynechánu i-tou složku.

Podobně lze výsledek zapsat pomocí Levi-Civitova symbolu $\varepsilon$ , který nabývá hodnot 1,-1,0 podle toho jestli je posloupnost indexů, které obsahuje sudá, lichá, nebo je v posloupnosti nějaký index dvakrát. Máme tedy

c_{i}=\varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}i}\,v_{1}{}^{j_{1}}v_{2}{}^{j_{2}}\cdots v_{n}{}^{j_{n}}

,

kde $c_{i}$ označuje i-tou složku zobecněného vektorového součinu. Je užitečné si všimnout, že index i se v symbolu $\epsilon$ vyskytuje na konci, nikoliv na začátku, jak se píše ve 3D, kde na tom nezáleží, na rozdíl od sudých dimenzí.

Z pravidla pro rozvoj determinantu je okamžitě vidět kolmost výsledku ke všem vektorům v součinu.

Poznamenejme, že tento vektorový součin mění znaménko při libovolné záměně vektorů (stejně jako ve 3D) a představuje multilineární operátor (lineární v každém svém argumentu).

Vlastnosti

Vektorový součin je homogenní , vynásobením vektorového součinu číslem a dostaneme

a\,(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(a\mathbf {u} )\times \mathbf {v} =\mathbf {u} \times (a\mathbf {v} ).

Vektorový součin je také (oboustranně) distributivní vůči sčítání,

\mathbf {u} \times (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} +\mathbf {u} \times \mathbf {w} ,

takže se jedná o bilineární operaci.

Vektorový součin je antikomutativní, tzn.

\mathbf {u} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {u}

Vektorový součin vektorů u, v je nulový (u×v = o), právě když jsou rovnoběžné (lineárně závislé).

Vektorový součin není asociativní (platí pro něj Jacobiho rovnost).

Pro derivaci vektorového součinu v třírozměrném prostoru platí:

(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )'=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times \mathbf {p} '

Tvoří-li vektory i, j, k (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak

\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}

\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i}

\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}

V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů u, v zapsat pomocí determinantu jako

\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}

Příklady výpočtu

Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:

\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}~,~u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}~,~u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})

\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(1,2,0)\times (0,1,2)=(2\cdot 2-0\cdot 1,~0\cdot 0-1\cdot 2,~1\cdot 1-2\cdot 0)=(4,-2,1)

\mathbf {v} \times \mathbf {u} =(0,1,2)\times (1,2,0)=(1\cdot 0-2\cdot 2,~2\cdot 1-0\cdot 0,~0\cdot 2-1\cdot 1)=(-4,2,-1)

Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.

Výpočet pomocí determinantu matice:

\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\1&2&0\\0&1&2\end{vmatrix}}

Pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo, podle nějž je výsledek

{\begin{array}{rcl}\mathbf {u} \times \mathbf {v} &=&\mathbf {i} u_{2}v_{3}+u_{1}v_{2}\mathbf {k} +v_{1}\mathbf {j} u_{3}-\mathbf {k} u_{2}v_{1}-u_{3}v_{2}\mathbf {i} -v_{3}\mathbf {j} u_{1}\\~&=&\mathbf {i} \cdot 2\cdot 2+1\cdot 1\cdot \mathbf {k} +0\cdot \mathbf {j} \cdot 0-\mathbf {k} \cdot 2\cdot 0-0\cdot 1\cdot \mathbf {i} -2\cdot \mathbf {j} \cdot 1\\~&=&4\mathbf {i} -2\mathbf {j} +1\mathbf {k} \end{array}}

i, j, k jsou jednotkové vektory rovnoběžné s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1).

Proto

\mathbf {u} \times \mathbf {v} =4\cdot (1,0,0)-2\cdot (0,1,0)+1\cdot (0,0,1)=(4,-2,1)

.

Výpočet v×u je analogický.

Použití

Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly M je definován následovně:

\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F}

,

kde r je polohový vektor působiště síly.

Související články

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.