Derivace

Derivace se značí několika způsoby (v závorce je čtení zápisu):

• ${\displaystyle f'}$ [:f s čárkou:],
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)}$ [:d podle d x z f x:],
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$ [:d f podle d x:],
• ${\displaystyle D_{x}f\quad }$ [:d podle x f:],
• ${\displaystyle f_{x}}$ [:f x:],
• Newtonova notace používá tečku nad proměnnou: ${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=x'(t)}$, používá se obvykle pouze ve fyzice pro derivování podle proměnné vyjadřující čas (t).

Ne vždy však limita, která derivaci definuje, existuje a je konečná, tzn. ne každá funkce má v každém bodě derivaci. Pokud je limita nevlastní, pak derivace neexistuje, resp. můžeme říci, že je v daném bodě derivace nevlastní. Říkáme, že funkce f je v bodě x diferencovatelná, pokud v tomto bodě derivace existuje; funkce je diferencovatelná na intervalu I, pokud je diferencovatelná v každém bodě tohoto intervalu. Funkce nemá derivaci v místě, kde není spojitá, ale spojitost funkce existenci derivace nezaručuje – funkce může mít v daném bodě svislou tečnu (což by odpovídalo nevlastní, nekonečné derivaci), popř. v daném bodě nemusí mít tečnu vůbec (v místě, kde má graf funkce „špičku“). Existují dokonce funkce, které jsou spojité v každém bodě, ale nemají v žádném bodě derivaci (např. tzv. Weierstrassova funkce).

Pokud je daná funkce diferencovatelná na nějakém intervalu, můžeme na tomto intervalu definovat funkci, která je v každém bodě tohoto intervalu rovná příslušné derivaci. Taková funkce se pak označuje prostě jako derivace funkce f.

Derivací diferencovatelné funkce je tedy opět funkce, která ovšem někdy může být také diferencovatelná. Derivaci derivace funkce nazýváme druhá derivace, derivaci druhé derivace třetí derivace atd. Tyto derivace vyšších řádů se obvykle značí f″(x), f′′′(x), pro ještě vyšší řády pak spíše f⁽³⁾(x), f⁽⁴⁾(x) atd. Při použití Leibnizovy notace se derivace vyšších řádů označují exponentem, např. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}y}{\mathrm {d} x^{3}}}}$ (d třetí y podle d x na třetí).

Z derivace lze naopak získat původní funkci integrováním, pokud známe funkční hodnotu původní funkce aspoň v jednom bodě (tzv. počáteční podmínku).

Zobecněním pojmu derivace pro funkce více proměnných je tzv. parciální derivace, kdy se u funkce více proměnných považuje za proměnnou jenom ta, podle které se derivuje, ostatní jsou v tomto výpočtu považovány za konstanty. Parciální derivace se značí obdobně jako obyčejné derivace, pouze místo symbolů d se používají symboly ∂, např.: ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ značí parciální derivaci funkce f podle proměnné y.

Definice:

Nechť ${\displaystyle X_{1},...,X_{n},Y}$ jsou normované prostory, Říkáme, že zobrazení ${\displaystyle f:X_{1}\times ...\times X_{n}\rightarrow Y}$je Fréchetovsky (Gatteauxovsky) derivovatelné v bodě ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$ v ${\displaystyle i}$-té souřadnici pokud zobrazení ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{i-1},.,x_{i+1},...,x_{n}):X_{i}\rightarrow Y,{\tilde {x}}_{i}\rightarrow f(x_{1},...,x_{i-1},{\tilde {x}}_{i},x_{i+1},...,x_{n})}$(tedy, zobrazení se všemi souřadnicemi FIXOVANÝMI) je F-(G-) diferencovatelné v bodě ${\displaystyle x_{i}}$.

Pro funkci více proměnných je derivace ve směru vektoru v definována vztahem

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$

Pokud je funkce f v bodě x diferencovatelná, potom platí

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} ,}$

kde ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )}$ je gradient funkce f v bodě x a ${\displaystyle \cdot }$ značí skalární součin.

Hodnota derivace ve směru vektoru v záleží na velikosti vektoru |v|, proto se často vyžaduje, aby |v| = 1. Někdy se také používá definice, která na velikosti vektoru v nezávisí:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}}.}$

Totální derivace je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými.

O komplexní funkci ${\displaystyle f(z)}$ řekneme, že má v ${\displaystyle z_{0}}$ derivaci, pokud existuje limita

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}=f^{\prime }(z_{0})}$

Derivace existuje pouze tehdy, pokud předchozí limita nezávisí na směru, kterým se v komplexní rovině přibližujeme ke komplexnímu bodu ${\displaystyle z_{0}}$. Tato podmínka je vyjádřena Cauchyho-Riemannovými podmínkami.

Pokud má ${\displaystyle f(z)}$ v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ derivaci, pak je v ${\displaystyle z_{0}}$ spojitá.

Komplexní funkci, která má v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ derivaci, označujeme jako monogenní v bodě ${\displaystyle z_{0}}$. Pokud má ${\displaystyle f(z)}$ derivaci v každém bodě oblasti ${\displaystyle \mathbf {G} }$, pak říkáme, že je v ${\displaystyle \mathbf {G} }$ holomorfní. Je-li holomorfní funkce ${\displaystyle f(z)}$ víceznačná, označujeme ji jako analytickou.

Derivací vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$ podle proměnné t rozumíme vektor, jehož složky získáme derivací složek vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$, tzn.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} v_{1}}{\mathrm {d} t}},{\frac {\mathrm {d} v_{2}}{\mathrm {d} t}},\cdots ,{\frac {\mathrm {d} v_{n}}{\mathrm {d} t}}\right)}$

Obdobně postupujeme při derivaci tenzorů.

Ze známých derivací elementárních funkcí se derivace složitějších funkcí sestavují tak, že se složitější funkce rozloží na jednodušší pomocí jednoduchých algebraických pravidel, která pro výpočet derivací platí:

• Linearita derivace: ${\displaystyle \left(af+bg\right)'=af'+bg'}$ pro libovolné funkce f, g a konstanty a, b.
  • Speciálně platí ${\displaystyle \left(af\right)'=af'}$ a také ${\displaystyle \left(f+g\right)'=f'+g'}$.
• Derivace součinu: ${\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'}$ pro všechny funkce f, g.
• Derivace podílu: ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ pro všechny funkce f, g, kde g ≠ 0.
• Derivace složené funkce: Pokud ${\displaystyle f\left(x\right)=h\left(g\left(x\right)\right)}$, pak ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)}$.
• Derivace inverzní funkce: Pokud jsou f(x) i f⁻¹(x) obě diferencovatelné, pak tehdy, kdy Δx ≠ 0 pokud Δy ≠ 0, platí ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}\right)^{-1}}$.
• Derivace jedné proměnné vůči druhé, pokud obě jsou funkcí třetí proměnné: Pokud x = f(t) a y = g(t), pak ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}}$.
• Derivace implicitní funkce: Pokud f(x, y) je implicitní funkce, pak ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}}$.
• Derivace parametricky zadané funkce: Je-li funkce vyjádřena parametrickými rovnicemi ${\displaystyle x=\varphi (t),y=\psi (t)}$, pak pro její derivace platí ${\displaystyle y^{\prime }={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\psi ^{\prime }(t)}{\varphi ^{\prime }(t)}}={\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} t}}{\frac {1}{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}}}$

Z některých předchozích pravidel je vidět, že Leibnizova notace umožňuje některé manipulace, které připomínají např. krácení zlomku. Je ale třeba podotknout, že se jedná jen o symbolické manipulace, s krácením zlomku nemající nic společného. V žádném případě pak není možné „krátit d“ stylem dx/dy = x/y.

• ${\displaystyle {(\sin x)}^{(n)}=\sin {\left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)}}$
• ${\displaystyle {(\cos x)}^{(n)}=\cos {\left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)}}$
• ${\displaystyle {(x^{m})}^{(n)}=m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n}\;}$ pro ${\displaystyle x>0}$, n přirozené číslo a m libovolné
• ${\displaystyle {(a^{x})}^{(n)}=a^{x}{(\ln a)}^{n}\;}$ pro ${\displaystyle a>0}$
• ${\displaystyle {(\mathrm {e} ^{x})}^{(n)}=\mathrm {e} ^{x}}$
• ${\displaystyle {(\ln x)}^{(n)}={(-1)}^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}\;}$ pro ${\displaystyle x>0}$
• ${\displaystyle {(\ln {g(x)})}^{\prime }={\frac {g^{\prime }(x)}{g(x)}}\;}$ pro ${\displaystyle g(x)>0}$
• ${\displaystyle {\left[\ln {|x+{\sqrt {x^{2}+a}}|}\right]}^{\prime }={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+a}}}}$ pro ${\displaystyle a\neq 0,x^{2}+a>0}$
• ${\displaystyle {\left(\arcsin {\frac {x}{a}}\right)}^{\prime }=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},&{\mbox{ pro }}a>0,|x|<a\\-{\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},&{\mbox{ pro }}a<0,|x|>a\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle {\left[{f(x)}^{g(x)}\right]}^{\prime }={f(x)}^{g(x)}\left[g^{\prime }(x)\ln {f(x)}+{\frac {g(x)f^{\prime }(x)}{f(x)}}\right]}$
• Derivaci součinu n funkcí ${\displaystyle f_{i}}$ lze zapsat jako ${\displaystyle {(f_{1}f_{2}\cdots f_{n})}^{\prime }=f_{1}f_{2}\cdots f_{n}\left({\frac {f_{1}^{\prime }}{f_{1}}}+{\frac {f_{2}^{\prime }}{f_{2}}}+\cdots +{\frac {f_{n}^{\prime }}{f_{n}}}\right)}$
• Pro vyjádření n-té derivace součinu dvou funkci ${\displaystyle f(x),g(x)}$ lze použít tzv. Leibnizův vzorec

${\displaystyle {(f\cdot g)}^{(n)}=f^{(n)}g^{(0)}+{n \choose 1}f^{(n-1)}g^{(1)}+{n \choose 2}f^{(n-2)}g^{(2)}+\cdots +f^{(0)}g^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)}}$,

kde ${\displaystyle n \choose k}$ jsou binomické koeficienty a ${\displaystyle f^{(0)}=f,f^{(1)}=f^{\prime },f^{(2)}=f^{\prime \prime }}$, atd.

• f(x) = 3; f ′(x) = 0,
• f(x) = x; f ′(x) = 1,
• f(x) = 2x; f ′(x) = 2 · 1 = 2.
• f(x) = 5x³; f ′(x) = 15x²; f″(x) = 30x
• f(x) = e^x; f ′(x) = e^x.
• f(x) = ln x; f ′(x) = x⁻¹.
• f(x) = x³ + 2x² − 5x + 7; f ′(x) = 3x² + 4x − 5.
• f(x) = sin x · cos x; f ′(x) = cos² x − sin² x (= cos 2x).
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\arcsin {x}}}\,}$; ${\displaystyle f'(x)={\frac {-1}{(\arcsin {x})^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.
• ${\displaystyle f(x)=x^{x}=e^{x\ln {x}}\,}$; ${\displaystyle f'(x)=e^{x\ln {x}}\cdot \left(1\cdot \ln {x}+x{\frac {1}{x}}\right)=x^{x}\cdot \left(\ln {x}+1\right)}$.

Pokud má daná diferencovatelná funkce nějaký lokální extrém (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivace této funkce musí být v tomto bodě nulová. (Pokud funkce v nějakých bodech tečnu, resp. derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže.) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná:

• V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází lokální minimum.
• V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází lokální maximum.
• V bodech, kde je první derivace nulová, se nachází tzv. stacionární bod, který může a nemusí být extrémem.
• (V bodech, kde funkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria.)

Alternativou k rozlišení pomocí druhé derivace je znaménko první derivace: v bodě, kde má funkce lokální extrém, mění první derivace znaménko: pokud je nějaký bod lokálním minimem, pak v jeho levém okolí je první derivace záporná a v pravém okolí kladná, naopak v levém okolí lokálního maxima je první derivace kladná a v pravém záporná.

Tato kritéria se často používají v optimalizačních úlohách. Pokud je např. požadováno najít obdélník, který při zadaném obvodu má maximální plochu, je třeba najít maximum funkce f(x) = x ⋅ (o/2 − x). Její derivací je funkce f′(x) = o/2 − 2x, která je nulová pro x = o/4. Druhá derivace funkce f je f″(x) = −2, tzn. je všude záporná. V bodě x = o/4 má tedy funkce f maximum. Znamená to tedy, že ze všech obdélníků o zadaném obvodu má největší obsah ten, který má všechny čtyři strany stejně dlouhé, tzn. čtverec.

Předchozí odstavec popisuje způsob, jak pro danou funkci nalézt její lokální extrémy. To může kromě optimalizačních úloh sloužit také k získání přehledu o chování funkce, např. při ručním náčrtu jejího grafu. Kromě analýzy extrémů lze využít derivací k následujícím pozorováním:

• V bodech, kde je první derivace kladná, je funkce rostoucí.
• V bodech, kde je první derivace záporná, je funkce klesající.
• V bodech, kde je druhá derivace kladná, je funkce konvexní.
• V bodech, kde je druhá derivace záporná, je funkce konkávní.
• V bodech, kde je druhá derivace nulová, se mohou vyskytovat inflexní body.

Jednoznačně nejdůležitější oblastí použití derivace ve fyzice jsou derivace podle časové proměnné, vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase. Nejběžnější pak jsou časové derivace polohy, které se vyskytují v klasické kinematice:

• Rychlost (okamžitá rychlost, koncept průměrné rychlosti se obejde bez diferenciálního počtu) je derivace souřadnice polohy tělesa podle času.
• Zrychlení je derivace rychlosti podle času, tzn. druhá derivace polohy podle času.
• Ryv je derivace zrychlení podle času, tzn. třetí derivace polohy podle času.

Kromě těchto základních pojmů se derivace objevují v mnoha teoriích fyzikálních polí, Maxwellových rovnicích atd.

Mnoho vědeckých problémů lze formulovat v podobě rovnic, ve kterých se vedle sebe vyskytuje nějaká funkce i její derivace. Takové rovnici se říká diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice se objevují snad ve všech vědeckých oborech, kromě matematiky a fyziky také např. v chemii, sociologii, ekologii atd. Podle toho, zda se v rovnici objevují pouze „obyčejné“ derivace, nebo i parciální derivace, se rozlišují

• obyčejná diferenciální rovnice (ODR) a
• parciální diferenciální rovnice (PDR).