Limita

Posloupnost ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo ${\displaystyle \varepsilon }$ platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně než ${\displaystyle \varepsilon }$.

Zapsáno symbolicky:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists n\in \mathbb {N}$ :\forall k\geq n:\left|a_{k}-A\right|<\varepsilon }

Příklad: Číslo 1 je limitou posloupnosti (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 …), kterou lze formálně zapsat jako {1-10^−j}_j.

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému ${\displaystyle \epsilon >0}$ existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$ , že pro všechna x z ${\displaystyle \delta }$-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je ${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\epsilon }$.

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Pokud pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než y, říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu ${\displaystyle +\infty \,\!}$. Obdobně se definuje nevlastní limita ${\displaystyle -\infty \,\!}$.

Pokud pro funkci v okolí bodu a platí, že pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt okolí bodu a, ve kterém má funkce hodnotu větší než y, říkáme, že funkce v okolí bodu a roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu ${\displaystyle +\infty \,\!}$. Nevlastní limita ${\displaystyle -\infty \,\!}$ se definuje obdobně.

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i ${\displaystyle +\infty \,\!}$ nebo ${\displaystyle -\infty \,\!}$ (rozšířené reálné číslo).

Stejně jako u posloupností lze zkoumat chování funkcí pro všechny hodnoty argumentu větší než zadané kladné číslo z. Pokud se hodnoty neliší od určitého čísla A o více než předem zadané ${\displaystyle \epsilon >0}$, má funkce v nevlastním bodě ${\displaystyle +\infty \,\!}$ vlastní limitu A. Pokud jsou hodnoty větší než libovolné předem dané y, má funkce v nevlastním bodě ${\displaystyle +\infty \,\!}$ nevlastní limitu ${\displaystyle +\infty \,\!}$.

Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě ${\displaystyle -\infty \,\!}$.

V každém z nevlastních bodů ${\displaystyle +\infty \,\!}$ nebo ${\displaystyle -\infty \,\!}$ může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů ${\displaystyle +\infty \,\!}$ nebo ${\displaystyle -\infty \,\!}$, je funkce sinus.

Limita zobrazení ${\displaystyle f:A\to B}$ mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako ${\displaystyle b\in B}$ takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že ${\displaystyle x\in O(a)}$ implikuje ${\displaystyle f(x)\in O(b)}$.

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí[1].

Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

• Derivace
• L'Hospitalovo pravidlo
• Vlastní limita
• Nevlastní limita
• Spojitá funkce
• Konvergence
• Divergence
• Seznam základních limit

• Encyklopedické heslo Limita v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
• Obrázky, zvuky či videa k tématu limita na Wikimedia Commons