Analytická funkce

Analytická funkce je funkce, kterou lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady. Pro funkci $f(x)$ to znamená na okolí bodu $x_{0}$

f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}(x-x_{0})^{i}

,

kde $x_{0}$ je libovolný bod $\mathbf {D}$ . Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna $x$ z okolí bodu $x_{0}$ . Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní.

Všechny holomorfní funkce jsou analytické.

Příklady

Analytické funkce jsou například polynomy, trigonometrické funkce, exponenciála a logaritmus na svém definičním oboru.

Příkladem analytické funkce komplexní proměnné je logaritmická funkce komplexní proměnné z. Tzv. hlavní větev logaritmu z je definována vztahem

\ln _{0}z=\ln r+\mathrm {i} \varphi

pro $r>0$ a $-\pi <\varphi \leq \pi$ , kde $z=r(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )$ . Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou bodu $z=0$ a bodů na záporné reálné ose, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok $-2\pi$ ).

Vlastnosti

Součet analytických funkcí je analytická funkce.
Součin analytických funkcí je analytická funkce.

Související články

Reference

Krantz, Steven; Harold R., Parks (2002), A Primer of Real Analytic Functions (Second ed.), Birkhäuser

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.