Inflexní bod

Každá z následujících definic je ekvivalentní s definicí uvedenou výše:

• Bod křivky, ve kterém druhá derivace mění znaménko. Tato definice se velmi podobá předchozí, protože znaménko křivosti je vždy stejné jako znaménko druhé derivace, i když křivost není totéž jako druhá derivace[1].
• Bod (x, y) funkce f(x), ve kterém má první derivace f′(x) extrém, tj. (lokální) minimum nebo maximum (není to totéž jako tvrzení, že y má extrém).
• Bod p křivky, ve kterém tečna protíná křivku. Pro algebraickou křivku to znamená nesingulární bod, kde násobnost průniku tečny a křivky v bodě p je lichá a větší než 2[2].

y = x⁴ – x má v bodě (0,0) nulovou druhou derivaci, ale není to inflexní bod, protože čtvrtá derivace je první nenulovou derivací vyššího řádu (i třetí derivace je nulová).

Příkladem sedlového bodu je bod (0,0) grafu y = x³. Tečnou je osa x, která v tomto bodě protíná graf. Jestliže x je inflexní bod funkce f, pak druhá derivace f″(x) (jestliže existuje) se rovná nule; tato podmínka ale není postačující. Je také nutné, aby nejnižší řád derivace, která je nenulová, byl lichý (a vyšší než druhý), tj. třetí, pátý, atd. Jestliže nejnižší řád derivace, která je nenulová, je sudý, nejedná se o inflexní bod, ale o undulační bod. V algebraické geometrii se ale inflexní bod říká jak skutečnému inflexnímu bodu, tak undulačnímu bodu. Příkladem undulačního bod je y = x⁴ pro x=0.

Z definice plyne, že znaménko f′(x) na obou stranách bodu (x,y) musí být stejné. Jestliže je kladné, bod je rostoucí inflexní bod;, jestliže je záporné, bod je klesající inflexní bod.

Graf funkce y = x³ s inflexním bodem (0,0), který je zároveň sedlovým bodem.

Inflexní body mohou být klasifikovány i podle toho, zda je derivace f′(x) nulová nebo nenulová.

• jestliže f′(x) je nulová, jedná se o stacionární inflexní bod známý také jako sedlový bod
• jestliže f′(x) není nulová, jedná se o nestacionární inflexní bod

Nestacionární inflexní bod lze zvýraznit, jestliže se graf y = x³ nepatrně otočí okolo počátku. Původní tečna bude stál rozdělovat graf na dvě části, ale jeho gradient je nenulový.

Inflexní bod se anglicky někdy nazývá ogee, ale většinou je takto označována celá křivka, která obsahuje inflexní bod.

Některé funkce mění konkávnost, aniž by měly inflexní body. Místo toho mohou měnit konkávnost okolo vertikální asymptoty nebo diskontinuity. Například funkce 2x²/(x² – 1) je konkávní, když |x| > 1; a konvexní, když |x| < 1. Funkce ale nemá žádné inflexní body, protože 1 a -1 nepatří do definičního oboru funkce.