Cauchyho–Riemannovy podmínky

Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:

${\displaystyle {i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}.}$

Je-li komplexní číslo zapsáno v polárních souřadnicích: ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:

${\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },}$

${\displaystyle {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}$

Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:

${\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta },}$

kde derivace uvažujeme v bodě ${\displaystyle re^{i\theta }}$.

První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z₀, přibližujeme se k z₀ nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.

Podél reálné osy:

${\displaystyle f'(z)\,}$	${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{f(z+h)-f(z) \over h}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over h}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)] \over h}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x+h,y)-u(x,y)}{h}}+i{\frac {v(x+h,y)-v(x,y)}{h}}\right]},}$

což je z definice parciální derivace rovno

${\displaystyle f'(z)={\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}.}$

Podél imaginární osy:

${\displaystyle f'(z)\,}$	${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{f(z+ih)-f(z) \over ih}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over ih}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{ih}}+i{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}}\right]}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}}+{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}}\right]}}$
	${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}}-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}}\right]}.}$

tedy opět z definice parciální derivace:

${\displaystyle f'(z)={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.}$

Porovnáním těchto dvou výsledků

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.}$

Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.\quad \square }$

Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby – jako zobrazení z ${\displaystyle \mathbb {C} }$ do ${\displaystyle \mathbb {C} }$ a jako zobrazení z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:

${\displaystyle \,f(z+h)=f(z)+L(h)+\xi (h)}$, kde ${\displaystyle \xi }$ je funkce splňující ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\xi (h)}{\|h\|}}=0.}$

Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ v bodě z, právě když pro všechna ${\displaystyle h\in \mathbb {C} }$ platí:

${\displaystyle \,f(z+h)=f(z)+w\cdot h+\xi (h)}$, kde ${\displaystyle \xi }$ je opět funkce splňující ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\xi (h)}{|h|}}=0.}$

Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení ${\displaystyle W:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ dané maticí

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}s&-t\\t&\;\;s\end{pmatrix}}.}$

Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) vztah ${\displaystyle W(h)=w\cdot h}$, tedy platí:

${\displaystyle \,f(z+h)=f(z)+W(h)+\xi (h)}$, kde ${\displaystyle \xi }$ je opět funkce splňující ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\xi (h)}{|h|}}=0.}$.

Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem ${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)}$ a tedy platí:

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}s&-t\\t&\;\;s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial u}{\partial y}}(z)\\{\frac {\partial v}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial v}{\partial y}}(z)\end{pmatrix}},}$

odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.

Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:

${\displaystyle \mathrm {d} f(z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial u}{\partial y}}(z)\\{\frac {\partial v}{\partial x}}(z)&{\frac {\partial v}{\partial y}}(z)\end{pmatrix}}.}$

Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo ${\displaystyle w={\frac {\partial u}{\partial x}}(z)+i\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}(z)}$ komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno ${\displaystyle \mathrm {d} f(z)}$. ${\displaystyle \quad \square }$