Monotónní funkce

Funkce ${\displaystyle f}$ definovaná na množině ${\displaystyle M}$ je na této množině (ostře, ryze) rostoucí právě tehdy, když pro každé dva body ${\displaystyle x,y\in M}$ platí

${\displaystyle x<y\Rightarrow f(x)<f(y)}$

Funkce ${\displaystyle f}$ definovaná na množině ${\displaystyle M}$ je na této množině (ostře, ryze) klesající právě tehdy, když pro každé dva body ${\displaystyle x,y\in M}$ platí

${\displaystyle x<y\Rightarrow f(x)>f(y)}$

Funkce ${\displaystyle f}$ definovaná na množině ${\displaystyle M}$ je na této množině neklesající právě tehdy, když pro každé dva body ${\displaystyle x,y\in M}$ platí

${\displaystyle x<y\Rightarrow f(x)\leq f(y)}$

Funkce ${\displaystyle f}$ definovaná na množině ${\displaystyle M}$ je na této množině nerostoucí právě tehdy, když pro každé dva body ${\displaystyle x,y\in M}$ platí

${\displaystyle x<y\Rightarrow f(x)\geq f(y)}$

Je zřejmé, že je-li funkce rostoucí, je neklesající a je-li funkce klesající, je nerostoucí.

Výše uvedené definice popisují globální monotonii.

Graf funkce, která na intervalu ${\displaystyle \langle A,B\rangle }$ není monotónní, ale je monotónní na jeho určitých podintervalech; na intervalu ${\displaystyle \langle A,x_{2}\rangle }$ a ${\displaystyle \langle x_{3},x_{5}\rangle }$ je rostoucí, na intervalu ${\displaystyle \langle x_{2},x_{3}\rangle }$ a ${\displaystyle \langle x_{5},B\rangle }$ je klesající.

Na obrázku vpravo je funkce rostoucí například v intervalu ${\displaystyle \langle x_{3},x_{5}\rangle }$, klesající například v intervalu ${\displaystyle \langle x_{2},x_{3}\rangle }$.

Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

Monotonie lokální (v bodě): Funkce je po řadě rostoucí, klesající, neklesající resp. nerostoucí v bodě ${\displaystyle a}$, jestliže existuje nějaké okolí ${\displaystyle U(a)}$ bodu ${\displaystyle a}$, na kterém je funkce rostoucí, klesající, neklesající resp. nerostoucí. To je ekvivalentní s tím, že
Funkce je rostoucí, pokud pro všechna ${\displaystyle x}$ v tomto okolí platí:

${\displaystyle x>a\Rightarrow f(x)>f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)<f(a)}$.

Obdobně je funkce klesající, pokud

${\displaystyle x>a\Rightarrow f(x)<f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)>f(a)}$,

nerostoucí pro

${\displaystyle x>a\Rightarrow f(x)\leq f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)\geq f(a)}$,

a neklesající pro

${\displaystyle x>a\Rightarrow f(x)\geq f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)\leq f(a)}$.

Pokud funkce ${\displaystyle f(x)}$ má v bodě ${\displaystyle a}$ derivaci ${\displaystyle f^{\prime }(a)}$, lze ji použít k vyšetření monotonie funkce, přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):

• Jestliže ${\displaystyle f^{\prime }(a)>0}$, pak ${\displaystyle f(x)}$ je v bodě ${\displaystyle a}$ rostoucí.
• Jestliže ${\displaystyle f^{\prime }(a)<0}$, pak ${\displaystyle f(x)}$ je v bodě ${\displaystyle a}$ klesající.
• Jestliže ${\displaystyle f(x)}$ je v bodě ${\displaystyle a}$ neklesající, pak ${\displaystyle f^{\prime }(a)\geq 0}$.
• Jestliže ${\displaystyle f(x)}$ je v bodě ${\displaystyle a}$ nerostoucí, pak ${\displaystyle f^{\prime }(a)\leq 0}$.

Někteří autoři používají termín rostoucí bez přívlastku pro funkce, které jsou ve výše uvedené definici nazývány neklesající a klesající pro funkce podle uvedené definice nerostoucí.