Totální derivace

Totální (úplná) derivace je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými. Totální derivace funkce ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ podle proměnné ${\displaystyle x_{i}}$ se zapisuje stejně jako obyčejná derivace, tzn. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x_{i}}}}$. Totální derivaci lze vyjádřit pomocí parciálních derivací.

Při určování parciální derivace funkce ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ podle ${\displaystyle x_{i}}$ považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty. Jestliže však existuje nějaká závislost mezi jednotlivými proměnnými, pak ji parciální derivace nezachytí.

Uvažujme např. funkci ${\displaystyle f(x,y)=xy}$. Parciální derivace podle ${\displaystyle x}$ je ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y}$. Pokud však proměnné ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ nejsou nezávislé, pak získaná parciální derivace nevyjadřuje závislost funkce ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle x}$ dostatečně. Předpokládejme, že závislost mezi ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ lze vyjádřit jako ${\displaystyle y=g(x)}$. V takovém případě je ${\displaystyle f(x,y)=f(x,g(x))}$ a jedná se tedy o parciální derivaci složené funkce, tzn.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$

Jsou-li obě proměnné ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ závislé na další proměnné ${\displaystyle t}$, tzn. ${\displaystyle x=x(t),y=y(t)}$, pak totální derivace ${\displaystyle f}$ podle ${\displaystyle t}$ je

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}.}$

Totální derivace se často používá ve fyzice.