Kombinační číslo

Pro přirozená čísla n a k, kde ${\displaystyle 0\leqq k\leqq n}$ a ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ platí

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose {n-k}},}$

${\displaystyle {{n} \choose {1}}=n,}$

${\displaystyle {{n} \choose {0}}={{n} \choose {n}}=1,}$

${\displaystyle {n \choose {k+1}}={n \choose k}{\frac {n-k}{k+1}},}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}},}$

${\displaystyle {{n+1} \choose {k}}={n \choose k}+{n \choose {k-1}},}$

${\displaystyle {{n-1} \choose {k-1}}+{{n-1} \choose {k}}={n \choose {k}},}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose {k}}={n+1 \choose {k+1}},}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{{k+i} \choose {i}}={k+n+1 \choose n},}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}=2^{n},}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose {i}}=0,}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}={2n \choose {n}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}{{n+i} \choose {n}}={{n+m+1} \choose {n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}{{n+i} \choose k}={{n+m+1} \choose {k+1}}-{{n+1} \choose {k+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{i}={{n+1} \choose {2}}={{n+1} \choose {n-1}}={\frac {n}{2}}(n+1)}$

Pokud definujeme kombinační číslo takto

${\displaystyle {z \choose k}={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}}}$,

kde ${\displaystyle k}$ je nezáporné celé číslo, pak je zřejmé, že pravá strana má smysl, i když číslo ${\displaystyle z}$ není celé nezáporné. Na číslo ${\displaystyle z}$ dokonce nemusíme klást žádné podmínky, může se jednat dokonce o číslo komplexní. Vztah je tedy přirozeným zobecněním kombinačních čísel a je používán hlavně v zobecněné binomické větě.

Další možnou definici nám umožňuje nahrazení faktoriálu gama funkcí

${\displaystyle {z \choose k}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (z-k+1)\Gamma (k+1)}}}$

kde ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle k}$ mohou být komplexní čísla – pak ovšem nebudou platit popsané vlastnosti kombinačních čísel pro všechny hodnoty.