Průběh funkce

Pokud se snažíme zjistit alespoň přibližný tvar grafu funkce, hovoříme o tom, že vyšetřujeme průběh funkce. Při tom se zkoumají různé vlastnosti funkce a hledají se funkční body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce se zajímáme o následující vlastnosti:

definiční obor a obor hodnot
určíme periodičnost, sudost a lichost funkce a její ohraničenost
průsečíky grafu se souřadnými osami
- Průsečík grafu funkce $f(x)$ s osou $y$ získáme dosazením hodnoty $x=0$ do funkce $f$ , tzn. získáme hodnotu $y_{0}=f(0)$ .
- Průsečík grafu funkce $f(x)$ s osou $x$ získáme řešením rovnice $f(x)=0$ .
intervaly spojitosti funkce
body nespojitosti a limity v bodech nespojitosti
určíme první derivaci funkce, kterou využijeme k určení
- intervalů monotonie
- stacionárních bodů a lokálních extrémů
vypočteme druhou derivaci a s její pomocí určíme
- intervaly konvexnosti a konkávnosti
- inflexní body
rovnice asymptot
funkční hodnoty ve vybraných význačných bodech (tím jsou myšleny nejen extrémy či inflexní body, ale také body informaci o průběhu funkce mezi těmito body)

Průběh funkce

Na základě získaných výsledků vyšetřování průběhu funkce pak lze sestrojit graf.

Příklad

Vyšetřujme průběh funkce $y=x\;\ln x$ .

Zatímco $x$ je definováno pro všechna reálná čísla, logaritmus je definován pouze pro $x>0$ . Definičním oborem vyšetřované funkce tedy bude $(0,+\infty )$ .

Vzhledem k tomu, že funkce je definována pouze pro $x>0$ , není periodická, ani lichá nebo sudá.

Pro limitu v bodě 0 určíme pomocí l'Hospitalova pravidla

\lim _{x\rightarrow 0+}x\;\ln x=\lim _{x\rightarrow 0+}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\rightarrow 0+}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=0

Funkci lze tedy definovat také v bodě $y(0)=0$ , tzn. rozšířit definiční obor na $\langle 0,+\infty )$ .

Průsečík s osou $y$ získáme dosazením $x=0$ , tedy $y=0$ .

Průsečík s osou $x$ získáme z rovnice $x\;\ln x=0$ , která má řešení $x_{1}=0,x_{2}=1$ .

První a druhá derivace funkce jsou

y^{\prime }=\ln x+1

y^{\prime \prime }={\frac {1}{x}}

Funkce je rostoucí v intervalu, ve kterém platí $y^{\prime }>0$ , což lze po dosazení zapsat jako $\ln x>-1$ . Řešením získáme, že funkce je rostoucí pro $x>{\frac {1}{e}}$ .

Funkce je klesající v intervalu, ve kterém platí $y^{\prime }<0$ , tzn. $\ln x<-1$ . Řešením získáme, že funkce je klesající pro $x<{\frac {1}{e}}$ .

V bodě $x_{3}={\frac {1}{e}}$ je $y^{\prime }(x_{3})=0$ . Tento bod je tedy stacionárním bodem. Již z rozložení intervalů monotonie lze určit, že se jedná o ostré lokální minimum, což lze ověřit dosazením do druhé derivace, neboť $y^{\prime \prime }({\frac {1}{e}})=e>0$ . Hodnota funkce v tomto bodě je $y({\frac {1}{e}})=-{\frac {1}{e}}$ .

Vzhledem k tomu, že $y^{\prime \prime }>0$ na celém definičním oboru funkce, je funkce konvexní ve všech bodech, kde je definována. Funkce nemá žádný inflexní bod.

Asymptoty k funkci neexistují, neboť $k=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x=+\infty$ .

Graf vyšetřované funkce tedy bude mít následující průběh.

Příklad vyšetřování průběhu funkce.

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Vykreslování grafů funkcí (i jejich derivací a integrálů)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.