Diferenciální forma

Nejznámější příklad je diferenciál funkce ${\displaystyle f}$, který se v lokálních souřadnicích dá vyjádřit jako

${\displaystyle df=\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}$. Toto vyjádření nezávisí na volbě souřadnic ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ a pro vektorové pole ${\displaystyle X}$ je ${\displaystyle df(X)=X(f)}$ (derivace funkce ${\displaystyle f}$ vektorovým polem ${\displaystyle X}$).

${\displaystyle M}$ je hladká varieta. Zobrazení ${\displaystyle \alpha :M\to \bigwedge ^{i}T^{*}M}$ nazveme vnější diferenciální ${\displaystyle k}$-formou, pokud ${\displaystyle \alpha }$ je hladké zobrazení a ${\displaystyle \alpha (m)\in \bigwedge ^{k}T_{m}^{*}M}$, kde ${\displaystyle \bigwedge ^{k}T_{m}^{*}M}$ je tzv. vnější mocnina vektorového prostoru ${\displaystyle T_{m}^{*}M}$. Často označujeme ${\displaystyle \alpha (m)}$ symbolem ${\displaystyle \alpha _{m}}$.

Prostor vnějších diferenciálních ${\displaystyle k}$-forem označujeme symbolem ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$.

Jsou-li ${\displaystyle (U,\phi =(x^{1},\ldots ,x^{n}))}$ souřadnice z atlasu na ${\displaystyle M}$, potom ${\displaystyle \alpha _{|U}=\sum _{I}\alpha _{I}dx^{I},}$ kde ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ je multindex délky ${\displaystyle |I|=k,\alpha _{I}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ a ${\displaystyle dx^{I}=dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}},}$ ${\displaystyle i_{j}=1,\ldots ,n}$.

Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$, prostor všech diferenciálních forem ${\displaystyle \Omega (M)}$. Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál ${\displaystyle d:\,\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$. Posloupnost ${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\to \ldots \to \Omega ^{n}(M)\to 0}$ se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v ${\displaystyle \mathbb {R} }$.