Určitý integrál

Určitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic – například určitý integrál síly podle polohy je vykonaná práce, určitý integrál ze zrychlení je změna rychlosti, objemový integrál z hustoty je hmotnost tělesa apod.

Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy během časového úseku od t₁ do t₂. Pokud polohu v závislosti na čase označíme ${\displaystyle x(t)\,\!}$, platí tedy

${\displaystyle x(t_{2})-x(t1)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,\mathrm {d} t\,\!}$

Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí

${\displaystyle x(t_{2})-x(t_{1})=v\cdot (t_{2}-t_{1})\,\!}$ neboli ${\displaystyle \triangle x=v\cdot \triangle t\,\!}$

Tyto vzorce se liší pouze v tom, že ten, který využívá integrál, lze použít i pro pohyb proměnlivou rychlostí.

Naproti tomu neurčitý integrál z rychlosti podle času je poloha. Argumentem integrálu je zde funkce představující závislost rychlosti na čase; výsledkem je množina funkcí, které představují závislost polohy na čase. Těchto funkcí (zvaných primitivní funkce) je nekonečně mnoho, jedna pro každou možnou počáteční polohu objektu. (To odpovídá fyzikální realitě, že ze znalosti rychlosti lze spočítat polohu objektu v čase t, jen pokud známe jeho polohu v nějakém čase t₀.)

Příklad: Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je ${\displaystyle v(t)=-g.t\,\!}$, kde ${\displaystyle g\,\!}$ je tíhové zrychlení a znaménko minus vyjadřuje směr dolů. Pro polohu pak platí:

${\displaystyle x(t)=\int v(t)\,\mathrm {d} t\,=\,\int -g.t\,\mathrm {d} t=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+c\,\!}$

Číslo ${\displaystyle c\,\!}$ se nazývá integrační konstanta, za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné závislosti polohy na čase. Například funkce ${\displaystyle x(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+50\,\!}$ popisuje volný pád z výšky 50 metrů.

Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu. Například výpočet dráhy uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí (zde je nejpřirozenější volit ${\displaystyle x(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}\,\!}$ ) a spočteme její rozdíl v obou časových mezích:

${\displaystyle \int \limits _{3}^{5}-g.t\,\mathrm {d} t\,\!=x(5)-x(3)=-{\frac {1}{2}}g5^{2}-(-{\frac {1}{2}}g3^{2})=-8.g}$

Integrál jako plocha pod křivkou.

Určitý integrál nezáporné funkce f(x) mezi nějakými dvěma body a, b je roven ploše obrazce omezeného přímkami x=a, x=b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f. Formálněji řečeno, takový integrál je roven míře množiny S definované jako

${\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\}}$

Je-li funkce někde záporná, plocha nad křivkou se počítá záporně.

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,=\,F(b)-F(a)\,\!}$ pro libovolnou primitivní funkci ${\displaystyle F\,\!}$, tj. pro takovou ${\displaystyle F\,\!}$, jejíž derivace je rovna ${\displaystyle f\,\!}$ na celém intervalu ${\displaystyle <a,b>\,\!}$

Definice je stejná, jako u Newtonova integrálu, ovšem stačí, pokud derivace ${\displaystyle F\,\!}$, je rovna ${\displaystyle f\,\!}$ na intervalu ${\displaystyle <a,b>\,\!}$ až na konečně mnoho bodů. Díky tomu lze integrovat větší okruh funkcí (například po částech konstantní funkce).

Riemann použil v roce 1854 závěry Cauchyho a definoval tzv. Riemannův integrál jako limitu nekonečného součtu. Šlo o první definici integrálu odpovídající dnešním měřítkům.

Na základě Lebesgueovy míry vytvořil Lebesgue tzv. Lebesgueův integrál. Má podobnou definici jako Riemannův, ale třída integrovatelných funkcí je v něm mnohem širší – dokonce se bez axiomu výběru nedá prokázat, že existuje funkce, která není Lebesgueovsky integrovatelná.

Podobný postup použili i další matematici. Lebesgueův integrál a další, ještě pokročilejší integrály, umožňují integrovat širší třídy funkcí, platí pro ně silnější verze mnoha tvrzení a skýtají i mnoho jiných výhod. Patří mezi ně například Stieltjesův integrál nebo Kurzweilův integrál.

Je-li dána řada funkcí ${\displaystyle \displaystyle f_{n}(x)}$ spojitých na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ a pokud suma ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }f_{n}(x)}$ konverguje stejnoměrně, pak lze zaměnit sumu s integrálem:

${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }{\int \limits _{a}^{b}{f_{n}(x)\,\mathrm {d} x}}=\int \limits _{a}^{b}{\sum _{n=n_{0}}^{\infty }{f_{n}(x)}\,\mathrm {d} x}}$

Je-li ${\displaystyle \displaystyle f(a,x)}$ funkce spojitá na příslušných definičních oborech ${\displaystyle \displaystyle a,x}$ a pokud má integrovatelnou majorantu ${\displaystyle \displaystyle g(x)}$ takovou, že ${\displaystyle \displaystyle |f(a,x)|<g(x)}$ pro dané hodnoty parametru a že ${\displaystyle \int _{M}g(x)\,\mathrm {d} x<+\infty }$, pak lze zaměnit limitu s integrálem:

${\displaystyle \lim _{a\to a_{0}}\int _{M}{f(a,x)\,\mathrm {d} x}=\int _{M}{\lim _{a\to a_{0}}f(a,x)\,\mathrm {d} x}}$

Viz Integrace metodou derivování podle parametru.

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

• Primitivní funkce
• Hlavní hodnota integrálu
• Diferenciální počet
• Integrální rovnice
• Gaussův integrál
• Nevlastní integrál
• Numerická integrace
• Integrál pohybu

• Kniha Integrování ve Wikiknihách
• Online výpočet integrálu
• MAW – matematické výpočty online umožňuje online výpočet integrálů, včetně krokování postupu a automatického návrhu, jakou metodu pro výpočet použít.