Matice

Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice). Obsahuje obecně m řádků a n sloupců. Hovoříme pak o matici typu $\scriptstyle m\times n$ .

Matice o m řádcích a n sloupcích

Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.

Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k výpočtu soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice.

Označení prvků matice

Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá. Prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A se obvykle značí $\scriptstyle a_{ij}$ . Potom $\scriptstyle i$ -tý řádek matice obsahuje vodorovnou $\scriptstyle n$ -tici prvků $\scriptstyle (a_{i1},a_{i2},...,a_{in})\,$ , kde $\scriptstyle i=1,2,...,m$ a $\scriptstyle j$ -tý sloupec matice obsahuje svislou $\scriptstyle m$ -tici čísel $\scriptstyle (a_{1j},a_{2j},...,a_{mj})\,$ , kde $\scriptstyle j=1,2,...,n$ .

Např. a₅₃ leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako a₅₃, nebo první nahoře a druhý dole jako a⁵₃, což má význam, jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory. Tedy matici m krát n zapíšeme jako:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a^{1}}_{1}&{a^{1}}_{2}&\dots &{a^{1}}_{n}\\{a^{2}}_{1}&\dots &\dots &\dots \\\dots &\dots &\dots &{a^{m-1}}_{n}\\{a^{m}}_{1}&\dots &{a^{m}}_{n-1}&{a^{m}}_{n}\end{pmatrix}},\qquad {\text{nebo}}\qquad {\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\dots &\dots &\dots \\\dots &\dots &\dots &a_{m-1,n}\\a_{m,1}&\dots &a_{m,n-1}&a_{m,n}\end{pmatrix}}.

Pro zjednodušení se také používá zápisu

\mathbf {A} =(a_{i,j})

.

Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis

\mathbf {A} ={(a_{i,j})}_{m,n}

.

Pokud nehrozí chyba (např. indexy jsou jednociferné), lze vynechat čárku oddělující oba indexy, tj. $a_{ij}$ .

Příklad

Matice

{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{pmatrix}}

je obdélníková matice velikosti 4 × 3. Prvek matice a₂₃ nebo a²₃ je 7.

Operace s maticemi

Sčítaní, násobení skalárem, a transpozice

Operace na maticích
Operace	Definice	Příklad
Sčítání	Součet A+B dvou matic A and B typu m×n je matice typu m×n, sčítání probíhá po prvcích: (A + B)_i,j = A_i,j + B_i,j, kde 1 ≤ i ≤ m a 1 ≤ j ≤ n.	${\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{pmatrix}}$
Násobení skalárem	α-násobek matice A je součin čísla $α$ (nazývané skalár) a matice A, který se spočítá vynásobením každého prvku matice A číslem $α$ : ( $α$ A)_i,j = $α$ · A_i,j.	$2\cdot {\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{pmatrix}}$
Transpozice	Transpozice matice A typu m×n je matice A^T typu n×m (někdy také značená A^tr or ^tA), která vznikne výměnou řádků a sloupců: (A^T)_i,j = A_j,i.	${\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{pmatrix}}$

Násobení matic

Schéma součinu AB dvou matic A a B.

Násobení dvou matic je definováno pouze pokud má levá matice stejný počet sloupců jako má pravá matice řádků. Pokud A je matice typu m×n a B je matice typu n×p, pak jejich součin AB je matice typu m×p, jejíž prvky jsou skalárním součinem příslušného řádku A a příslušného sloupce B:

[\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},

kde 1 ≤ i ≤ m a 1 ≤ j ≤ p.

Například podtržený prvek 2340 součinu se spočítá jako

(2 \cdot 1000) + (3 \cdot 100) + (4 \cdot 10) = 2340:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Maticové násobení splňuje rovnost (AB)C = A(BC) (asociativitu), a rovnosti (A + B)C = AC + BC a C(A + B) = CA + CB (distributivitu zleva a zprava), pokud mají matice takové rozměry, aby součiny byly definovány. Součin AB může být definován, aniž by bylo definováno BA, pokud A a B jsou matice typu m×n a n×k, kde m ≠ k. Pokud jsou oba součiny definovány, nemusí být stejné. Pro obecné matice platí:

AB ≠ BA

Maticové násobení není komutativní, na rozdíl od součinu (racionálních, reálných, nebo komplexních) čísel. Příklad dvou matic, které spolu nekomutují:

{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&3\\\end{pmatrix}},

zatímco

{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\\0&0\\\end{pmatrix}}.

Mimo obvyklý maticový součin existují ještě jiné operace s maticemi, které lze považovat za určitý druh násobení, jako například Hadamardův součin anebo Kroneckerův součin.

Rovnost

O dvou maticích A, B prohlásíme, že jsou si rovny, pokud jsou stejného typu (stejný počet řádků i sloupců) a každý prvek $a\scriptstyle _{ij}$ matice A je roven odpovídajícímu prvku $b\scriptstyle _{ij}$ matice B. Rovnost zapíšeme

\mathbf {A} =\mathbf {B}

Rozdíl

Rozdíl dvou matic A, B (stejného typu) je nová matice R:

\mathbf {R} =\mathbf {A} -\mathbf {B} =\mathbf {A} +(-1\mathbf {B} )

Prvky matice R jsou pak určeny vztahem

r_{ij}=a_{ij}-b_{ij}\,

Lineární kombinace

Obecně lze pro matice $\scriptstyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,...$ , které jsou stejného typu, definovat lineární kombinaci matic

\mathbf {L} =\lambda \mathbf {A} +\mu \mathbf {B} +...

,

kde prvky matice

\scriptstyle \mathbf {L}

určuje výraz

l_{ij}=\lambda a_{ij}+\mu b_{ij}+...

Mocnina

Opakovaným násobením matice $\scriptstyle \mathbf {A}$ sama sebou lze vytvářet mocniny matic $\scriptstyle \mathbf {A} ^{k}$ . Tyto mocniny lze poté využít při zápisu polynomu

P(\mathbf {A} )=c_{0}+c_{1}\mathbf {A} +c_{2}\mathbf {A} ^{2}+...+c_{n}\mathbf {A} ^{n}

Vlastnosti a základní pojmy

Algebraické vlastnosti prostorů matic

Obvykle se předpokládá, že prvky matice jsou z nějakého okruhu nebo tělesa. Označme jej $\scriptstyle K$ (obvykle $\scriptstyle K=\mathbb {R}$ nebo $\scriptstyle \mathbb {C}$ ). Množina všech čtvercových matic $\scriptstyle n\times n$ tvoří asociativní algebru, která se nazývá maticová algebra, značí se $\scriptstyle M(n,K)$ , $\scriptstyle \mathrm {Mat} (n,K)$ , nebo $\scriptstyle M^{n,n}$ apod. Pro $\scriptstyle n>1$ je nekomutativní a její centrum je izomorfní $\scriptstyle K$ (je tvořeno násobky jedničkové matice). Je jednoduchá, t.j. nemá žádné netriviální oboustranné ideály. Navíc každá konečně rozměrná jednoduchá asociativní algebra (nad nějakým tělesem) je izomorfní maticové algebře. Každá volba báze $\scriptstyle n$ -dimenzionálního prostoru $\scriptstyle V$ nám dává izomorfizmus $\scriptstyle \mathrm {Mat} (n)\simeq \mathrm {End} (V)$ . Jediná ireducibilní reprezentace této asociativní algebry je její definující reprezentace na $\scriptstyle V$ .

Matice je invertovatelná, právě když její determinant je nenulový (toto má smysl, i kdyby byly prvky matice z obecného komutativního okruhu, a analogické tvrzení lze zformulovat i v kvaternionových maticích).

Množina všech regulárních (t.j. invertovatelných) matic tvoří grupu, která se označuje $\scriptstyle GL(n,K)$ . Pro $\scriptstyle K=\mathbb {C} ,\mathbb {R}$ je reduktivní. Její jednoduchá podgrupa je grupa matic s jedničkovým determinantem $\scriptstyle SL(n,K)$ .

Hodnost matice

Hodnost matice se dá definovat jako počet lineárně nezávislých řádků (předpokládáme, že prvky matice jsou prvky nějakého tělesa). Platí, že počet lineárně nezávislých sloupců matice je stejný jako počet lineárně nezávislých řádků.

Diagonála matice

Prvky $\scriptstyle a_{11},a_{22},a_{33},...$ , leží na tzv. hlavní diagonále matice. Hlavní diagonála je tedy tvořena všemi prvky $\scriptstyle a_{ij}$ , kde $\scriptstyle i=j$ .

Prvky $\scriptstyle a_{1n},a_{2,n-1},a_{3,n-2},...$ , leží na tzv. vedlejší diagonále. Vedlejší diagonála je tedy tvořena všemi prvky $\scriptstyle a_{ij}$ , kde $\scriptstyle j=(n-i)+1$ .

Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.

Důvod dvojího značení

Matice se obvykle používají k zápisu lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory. Předpokládejme, že matice $\scriptstyle A=(a_{\,\,j}^{i})$ přiřadí vektoru v, který má souřadnice (v nějaké bázi) $\scriptstyle v^{j}$ vektor, který má (v nějaké bázi cílového prostoru) souřadnice $\scriptstyle w^{i}=\sum _{j}a_{\,\,j}^{i}v^{j}$ (symbolicky Av=w).

Užíváme-li matice k operaci s vektory v Euklidovském prostoru, nebo kdykoliv se příslušný skalární součin chová stejně jako v Euklidovském prostoru a předpokládáme, že jediné změny souřadnicových systémů, které uvažujeme, jsou rotace a zrcadlení, pak není potřeba rozlišovat polohu indexů a řádkové a sloupcové vektory lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. Diracova notace v kvantové mechanice), anebo uvažujeme i jiné transformace souřadnic než rotace a zrcadlení, pak se při přechodu do jiných souřadnic typicky jinak transformují vektory jako duální vektory. Sloupce matice se chovají jako vektory, kdežto řádky matice jako duální vektory, neboli lineární formy. Ve fyzice se pak obvykle souřadnice vektorů píšou nahoru a souřadnice duálních vektorů dolů.

Tento koncept lze matematicky formalizovat, pokud řekneme, že matice je prvek prostoru $\scriptstyle \mathrm {End} (V,W)$ zapsán v nějakých bázích $\scriptstyle {v_{i}},{w_{j}}$ prostorů $\scriptstyle V,W$ . Protože ale $\scriptstyle \mathrm {End} (V,W)\simeq V^{*}\otimes W$ , můžeme chápat matici jako tenzor typu (1,1) a u tenzorů se píšou kovariantní složky dolů a kontravariantní nahoru. Pak se matice bude při přechodu k novým souřadnicím v prostorech V a W transformovat „správně“.

Matice ale nereprezentují jen lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Do matice se taky dá zapsat bilineární forma, která dvěma vektorům přiřadí číslo. Pak to odpovídá tenzoru typu (0,2) a při přechodu do jiných souřadnic se transformuje jako tenzor typu (0,2). V tomto případě bychom prvky matice značili ( $\scriptstyle a_{i,j}$ ) (oba indexy dolů).

Pokud však matice reprezentuje něco jiného (třeba systém lineárních rovnic, na který se nemusíme dívat jako na maticovou rovnici a nepotřebujeme vědět, jak se transformuje při změně souřadnic), pak nemá smysl horní a dolní indexy rozlišovat.

Druhy matic

Přehled některých typů matic
Nad $\scriptstyle \mathbb {C}$	Nad $\scriptstyle \mathbb {R}$	vlastnost
hermitovská	symetrická	$\scriptstyle \mathbf {A} ^{H\mathrm {/} T}=\mathbf {A}$
unitární	ortogonální	$\scriptstyle \mathbf {A} ^{H\mathrm {/} T}=\mathbf {A} ^{-1}$
regulární (invertibilní)		$\scriptstyle \det \mathbf {A} \neq 0$

Matice typu $\scriptstyle 1\times n$ je tvořena jedním řádkem a bývá označována jako řádková matice.
Matice typu $\scriptstyle n\times 1$ je tvořena jedním sloupcem a bývá označována jako sloupcová matice.
Je-li $\scriptstyle n=m$ , pak matici označujeme jako čtvercovou matici $\scriptstyle n$ -tého řádu (stupně). Pro $\scriptstyle n\neq m$ bývá matice označována jako obdélníková.
Pokud jsou všechny prvky matice nulové, tzn. $\scriptstyle a_{ij}=0$ pro všechna $\scriptstyle i,j$ , označujeme matici jako nulovou.
Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn. $\scriptstyle a_{ij}=0$ pro $\scriptstyle i\neq j$ a $\scriptstyle a_{ij}\neq 0$ pro $\scriptstyle i=j$ , nazýváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice $\scriptstyle \mathbf {D}$ lze vyjádřit pomocí Kroneckerova symbolu

d_{ij}=\lambda _{i}\delta _{ij}\,

,

kde $\scriptstyle \lambda _{i}=d_{ii}\,$ jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky $\scriptstyle \lambda _{i}$ diagonální matice platí $\scriptstyle \lambda _{i}=1\,$ , jedná se o jednotkovou matici $\scriptstyle \mathbf {E}$ , pro jejíž prvky platí

e_{ij}=\delta _{ij}

Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}

Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.

Jsou-li $\scriptstyle m$ i $\scriptstyle n$ konečná čísla, označujeme matici jako konečnou.
Matici, která vznikne z matice $\scriptstyle \mathbf {A}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme $\scriptstyle \mathbf {A} ^{T}$ . Pro jednotlivé prvky transponované matice platí

a_{ij}^{T}=a_{ji}\,

Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. $\scriptstyle \mathbf {A} ^{T}=\mathbf {A}$ , pak matici $\scriptstyle \mathbf {A}$ označujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí

a_{ij}=a_{ji}\,

.

Matici $\scriptstyle \mathbf {A}$ označujeme jako antisymetrickou, platí-li pro všechny prvky této matice vztah

a_{ij}=-a_{ji}\,

.

Pokud každý prvek $\scriptstyle a_{ij}$ matice $\scriptstyle \mathbf {A}$ nahradíme prvkem k němu komplexně sdruženým $\scriptstyle {\bar {a}}_{ij}$ , pak získáme matici $\scriptstyle {\bar {\mathbf {A} }}$ , kterou označujeme jako komplexně sdruženou matici.
Pokud je matice komplexně sdružená rovna původní matici, tzn. $\scriptstyle {\bar {\mathbf {A} }}=\mathbf {A}$ , pak matici $\scriptstyle \mathbf {A}$ nazýváme reálnou maticí.
Provedeme-li na matici $\scriptstyle \mathbf {A}$ transpozici a komplexní sdružení, získáme matici hermiteovsky sdruženou (někdy též psáno „hermitovsky“, podle Charlese Hermita). Hermiteovsky sdruženou matici značí různí autoři různě, zpravidla některým z následujících způsobů

{\bar {\mathbf {A} }}^{T}=\mathbf {A} ^{H}=\mathbf {A} ^{*}=\mathbf {A} ^{+}

(poslední z možných zápisů se může snadno plést s tzv. Moore-Penroseovou pseudoinverzí matice)

Pokud je hermiteovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. $\scriptstyle \mathbf {A} ^{H}=\mathbf {A}$ , říkáme, že matice $\scriptstyle \mathbf {A}$ je hermitovská (též samosdružená nebo samoadjungovaná). Každá takováto matice má všechna vlastní čísla reálná. (důkaz indukcí s využitím základní věty algebry a Gram-Schmidtovy ortogonalizace)
Matice $\scriptstyle \mathbf {B}$ je inverzní maticí k matici $\scriptstyle \mathbf {A}$ , pokud platí

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {1}

,

kde $\scriptstyle \mathbf {1}$ je jednotková matice.

Matici $\scriptstyle \mathbf {A}$ , ke které existuje inverzní matice, označujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako singulární.
Matici $\scriptstyle \mathbf {A}$ označujeme jako unitární, jestliže inverzní matice $\scriptstyle \mathbf {A} ^{-1}$ je rovna matici hermiteovsky sdružené $\scriptstyle \mathbf {A} ^{H}$ , tzn.

\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{H}

Adjungovaná matice k matici A je transponovaná matice algebraických doplňků matice A.

Použití

Matice jako zápis lineárního zobrazení

Matice představují nejjednodušší nástroj, jak popsat v souřadnicích lineární zobrazení z prostorů V do prostoru W, pokud máme na prostoru V zvolenou bázi $\scriptstyle {v_{j}}$ a na prostoru W bázi $\scriptstyle {w_{j}}$ . Matice zobrazení vytvoříme tak, že její i-tý sloupec bude zápis souřadnic obrazu vektoru $\scriptstyle v_{i}$ zapsaného v bázi $\scriptstyle w_{j}$ .

Matice přechodu

Matice jsou užitečný nástroj na spočtení souřadnic vektoru v nějaké bázi, pokud známe jeho souřadnice v jiné bázi. Pokud $\scriptstyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ a $\scriptstyle \{e_{1}',\ldots ,e_{n}'\}$ jsou dvě báze, pro které platí $\scriptstyle e_{j}'=\sum _{i}e_{i}a_{\,\,j}^{i},$ , neboli

(e_{1}',\ldots ,e_{n}')=(e_{1},\ldots ,e_{n})A,

pak matice $\scriptstyle \mathbf {A} =(a_{\,\,j}^{i})$ se nazývá matice přechodu od báze $\scriptstyle \{e_{i}\}_{i}$ k bázi $\scriptstyle \{e_{i}'\}_{i}$ . Pro souřadnice pak platí

\mathbf {A} ^{-1}\left({\begin{array}{c}x^{1}\\\ldots \\x^{n}\end{array}}\right)_{\{e_{i}\}_{i}}=\left({\begin{array}{c}x'^{1}\\\ldots \\x'^{n}\end{array}}\right)_{\{e_{i}'\}_{i}},

kde $\scriptstyle x^{i}$ jsou souřadnice libovolného vektoru v bázi $\scriptstyle \{e_{i}\}_{i}$ a $\scriptstyle x'^{i}$ jsou jeho souřadnice v bázi $\scriptstyle \{e_{i}'\}_{i}$ a $\scriptstyle \mathbf {A} ^{-1}$ je inverzní matice k matici $\scriptstyle \mathbf {A}$ .

Duální báze k $\scriptstyle \{e_{i}\}$ a $\scriptstyle \{e_{i}'\}$ (pokud je píšeme do sloupců) se transformují stejně jako souřadnice a souřadnice duálních vektorů v duálních bázích (pokud je píšeme do řádků) stejně jako původní bázové vektory.

Matice jako zápis bilineární formy

Matice představují jednoduchý nástroj, jak popsat v souřadnicích bilineární zobrazení (například skalární součin) $\scriptstyle V\times V\to K$ (obvykle $\scriptstyle K=\mathbb {R}$ nebo $\scriptstyle \mathbb {C}$ ), pokud máme na prostoru V zvolenou bázi $\scriptstyle {v_{j}}$ a na prostoru W bázi $\scriptstyle {w_{j}}$ . Matice zobrazení A vytvoříme tak, že $\scriptstyle a_{ij}:=(v_{i},w_{j})$ , kde (.) je příslušná bilineární forma. Pak v souřadnicích platí $\scriptstyle (\{x_{i}\},\{y_{j}\})=\{x_{i}\}^{T}A\{y_{j}\}$ .

Systémy lineárních rovnic

Systém m rovnic o n neznámých $\scriptstyle \sum _{j}a_{ij}x_{j}=b_{i}$ se dá zapsat elegantně do matice jako

$\scriptstyle \left({\begin{array}{cccc|c}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}&b_{1}\\a_{2,1}&\dots &\dots &\dots &b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{m,1}&\dots &a_{m,n-1}&a_{m,n}&b_{m}\end{array}}\right).$

Řešení se nezmění, pokud budeme provádět následující úpravy:

Výměna dvou řádků
Vynásobení řádku nenulovým číslem
Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Takovými operacemi je možno systém značně zjednodušit (viz Gaussova eliminace).

Zkoumání lineární nezávislosti vektorů

Pokud mám nějakou sadu vektorů zapsanou v souřadnicích, můžu tyto vektory (resp. jejich souřadnicové vyjádření) zapsat jako řádky pod sebe a vznikne matice. Lineární obal řádků matice se nezmění, pokud budu dělat následující úpravy:

Výměna dvou řádků
Vynásobení řádku nenulovým číslem
Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Pokud vhodnými úpravami dokážu udělat někde nulový řádek, původní vektory jsou lineárně závislé (viz též Gaussova eliminace).

Řešení obyčejných diferenciálních rovnic

Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá přepsat na maticovou rovnici $\scriptstyle {\dot {x}}=\mathbf {A} x$ , kde $\scriptstyle x=x(t)$ je vektor neznámých a A je matice. Řešení je pak vektorový prostor generovaný sloupci matice dané maticovou funkcí $\scriptstyle \exp(\mathbf {A} t)$ .

Další použití

V matematice a fyzice:

Ve statistice:

Matice dat (zcela obecná tabulka popisující závislost jedné veličiny na druhé)
Korelační matice
Stochastická matice
kontingenční tabulky

V kvantové mechanice:

Zápis operátorů do matic
Matice hustoty (popis smíšeného stavu systému)
Pauliho matice

V populační biologii:

Leslieho model

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu matice na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo matice ve Wikislovníku
M. Zahradník, L. Motl: Pěstujeme lineární algebru
Učebnice lineární algebry na webu (anglicky)
Autar Kaw, Introduction to Matrix Algebra
Maticová kalkulačka
Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)*
Sčítání a násobení matic

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.