Kroneckerův součin matic

Kroneckerův součin matic nebo krátce Kroneckerův součin je pojem z oboru lineární algebry, podoboru matematiky. Jedná se o zvláštní druh součinu dvou matic libovolných rozměrů. Výsledkem je větší matice, jejíž jednotlivé prvky jsou součiny všech možných párů prvků vstupních matic. Je pojmenována po německém matematikovi Leopoldu Kroneckerovi.

Definice

Je-li $A$ matice o rozměrech $m\times n$ a $B$ matice o rozměrech $p\times r$ , je Kroneckerův součin definován jako matice $C=A\otimes B$ s podobou

C=(a_{ij}\cdot B)={\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}

Jinak vyjádřeno:

{\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1r}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1r}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2r}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pr}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pr}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1r}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1r}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2r}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pr}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pr}\end{pmatrix}}_{(mp\times nr)}

.

Výsledná matice má tedy rozměry $mp\times nr$ .

Příklad

{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}\\\\3\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}&4\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}\\\\5\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}&6\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&\!\!\!&14&16\\9&0&\!\!\!&18&0\\[0.6em]21&24&\!\!\!&28&32\\27&0&\!\!\!&36&0\\[0.6em]35&40&\!\!\!&42&48\\45&0&\!\!\!&54&0\end{pmatrix}}

Vlastnosti

Kroneckerův součin matic není komutativní operací
Kroneckerův součin je asociativní
Transpozice výsledné matice odpovídá Kroneckerovu součinu transponovaných vstupů.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kronecker-Produkt na německé Wikipedii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.