Inverzní matice

Inverzní matici k matici A značíme A⁻¹.

Vynásobením regulární matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {1} ,}$

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.

Pro obdélníkovou matici můžeme sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gauss-Jordanova eliminační metoda. Postup:

1. Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat, a jednotkovou matici.
2. Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
   • záměna řádků
   • vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
   • přičtení násobku jednoho řádku k jinému
3. Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
4. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se při faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.

V tomto příkladě se inverzní matice hledá Gauss-Jordanovou eliminační metodou. Nejprve se matice nalevo převede na trojúhelníkovou, ve které budou všechny prvky pod diagonálou nulové. Následně se tato matice převede na jednotkovou. Současně s maticí nalevo se provádějí všechny operace i s maticí napravo. Tento postup je zcela obecný a pokud je matice regulární, vždy vede přímo k cíli.

Vlevo zadaná matice, vpravo matice jednotková:

${\displaystyle \left.{\begin{pmatrix}1&3&5\\1&1&1\\1&2&4\end{pmatrix}}\right|{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Nejprve postupujeme shora dolů. První řádek necháme, od druhého řádku odečteme (jednonásobek) první a od třetího odečteme také (jednonásobek) první. Druhý a třetí řádek vynásobíme s (-1), což je povoleno.

${\displaystyle \left.{\begin{pmatrix}1&3&5\\0&2&4\\0&1&1\end{pmatrix}}\right|{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&-1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}}}$

První a druhý řádek necháme, od třetího odečteme polovinu druhého.

${\displaystyle \left.{\begin{pmatrix}1&3&5\\0&2&4\\0&0&-1\end{pmatrix}}\right|{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&-1&0\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}}}$

Nyní pro jednoduchost dalších operací vynásobíme řádky převrácenými hodnotami jejich prvků na diagonále. První řádek necháme (vynásobíme jedničkou), druhý vynásobíme ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ a třetí -1.

${\displaystyle \left.{\begin{pmatrix}1&3&5\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}}\right|{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}}$

Získali jsme trojúhelníkovou matici s jedničkami na diagonále. V dalších krocích převedeme matici tak, aby i prvky nad diagonálou byly nulové. Postupujeme zdola nahoru. Poslední řádek necháme, od druhého řádku odečteme dvojnásobek třetího a od prvního řádku odečteme pětinásobek třetího.

${\displaystyle \left.{\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right|{\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}&{\frac {5}{2}}&-5\\{\frac {3}{2}}&{\frac {1}{2}}&-2\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}}$

V posledním kroku odečteme od prvního řádku trojnásobek druhého.

${\displaystyle \left.{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right|{\begin{pmatrix}-1&1&1\\{\frac {3}{2}}&{\frac {1}{2}}&-2\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}}$

Existuje ještě jiný způsob výpočtu inverzní matice - pomocí determinantů a subdeterminantů.

Matice ${\displaystyle A^{-1}}$ má prvky ${\displaystyle a_{i,j}}$ kde ${\displaystyle i}$ je řádek a ${\displaystyle j}$ je sloupec pak ${\displaystyle a_{i,j}={\frac {(-1)^{i+j}\cdot |A_{j,i}|}{|A|}}}$, kde ${\displaystyle |A_{j,i}|}$ je subdeterminant získaný z matice ${\displaystyle A}$ vynecháním ${\displaystyle j}$-tého řádku a ${\displaystyle i}$-tého sloupce, ${\displaystyle |A|}$ je determinant matice ${\displaystyle A}$.

Tento postup je pouze rozložením výpočtu inverzní matice pomocí adjungované matice do jednotlivých kroků.

Inverzní matici lze využít k nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Je-li matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ soustavy rovnic čtvercová (tedy ${\displaystyle m=n}$) a regulární, pak lze řešení ${\displaystyle \mathbf {X} }$ soustavy rovnic

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {B} }$

získat pomocí matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$, která je inverzní k matici ${\displaystyle \mathbf {A} }$, neboť platí že

${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {B} }$

• Čtvercová matice
• Regulární matice
• Determinant
• Transpozice matice
• Hodnost matice
• Lineární algebra

• Pěstujeme lineární algebru
• Lineární algebra: práce s maticemi
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikace, která vypočítá inverzní matici z matice řádu 2-8
• Online výpočet soustav lineárních rovnic