Lineární obal

• Lineární obal jakýchkoli vektorů obsahuje nulový vektor, tj.

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall ({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})\in V)({\vec {0}}\in \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}})}$

Důkaz: Zřejmý. Stačí uvažovat lineární kombinaci vektorů, v níž jsou všechny koeficienty nulové.

• Lineární obal nulového vektoru je pouze samotný nulový vektor, tj.

${\displaystyle (\{{\vec {0}}\}_{\text{lin}}=\{{\vec {0}}\})}$

Důkaz: Vyplývá z axiomů vektorového prostoru. Libovolný násobek nulového vektoru je opět nulový vektor.

• Lineární obal je uzavřený na sčítání vektorů a násobení vektoru číslem z tělesa, tj. lineární obal je podprostor vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$. Symbolicky

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall ({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})\in V)(\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}})(\forall \alpha \in T)(\alpha {\vec {x}}+{\vec {y}}\in \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}})}$

Důkaz: Nechť ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\vec {x}}_{i}}$. Pak je zřejmě též ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {x}}+{\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}+\alpha \beta _{i}){\vec {x}}_{i}}$ lineární kombinací generátorů lineárního obalu ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}}$.

• Lineární obal vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ je nejmenší (ve smyslu inkluze) podprostor vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$, který obsahuje ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$. Neboli, lineární obal vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ je roven průniku všech podprostorů ${\displaystyle \scriptstyle P}$ vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$, které obsahují tyto vektory. Matematicky zapsáno

${\displaystyle \{{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}=\bigcap _{P\subset \subset V,\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\subset P}P}$

Důkaz: Každý z podprostorů, přes něž je prováděn průnik, obsahuje vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$. Tyto vektory tedy musí ležet i v průniku všech těchto podprostorů. Navíc platí, že průnik podprostorů je opět podprostor. To znamená, že pravá strana výše uvedené rovnosti musí obsahovat alespoň všechny lineární kombinace vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ neboli jejich lineární obal. Inkluze zleva doprava je tedy dokázána. K důkazu opačné inkluze musíme ukázat, že množina na pravé straně rovnosti je podmnožinou množiny na straně levé. Nyní si ale stačí uvědomit, že samotný lineární obal ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}}$ je také podprostor, který obsahuje vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$. Protože na pravé straně provádíme průnik přes všechny podprostory s touto vlastností, tak jedním z podprostorů ${\displaystyle \scriptstyle P}$ bude i lineární obal ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}}$ a průnik nemůže být tedy větší než tento lineární obal.

• Lineární obal se nezmění, změníme-li pořadí jeho generátorů, tj.

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall ({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})\in V)(\forall \sigma \in S_{n})(\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{\sigma (1)},\ldots ,{\vec {x}}_{\sigma (n)}\}_{\text{lin}})}$,

kde ${\displaystyle \scriptstyle S_{n}}$ je množina všech permutací množiny ${\displaystyle \scriptstyle \{1,\ldots ,n\}}$.

Důkaz: U dané permutace ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ a konkrétní lineární kombinace ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\ldots +\alpha _{n}{\vec {x}}_{n}}$ jen propermutuji koeficienty ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{i}}$ podle ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$. Lineární kombinace navíc nezávisí na pořadí sčítání prvků díky komutativitě sčítání vektorů ve vektorovém prostoru. Dostali jsme tak bijektivní zobrazení mezi vektory z obou lineárních obalů, kde koeficientům lineární kombinace v jednou obalu přiřazuji propermutované koeficienty lineární kombinace v obalu druhém.

• Máme-li vektor ${\displaystyle \scriptstyle y\in V}$, který patří do lineárního obalu vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$, tak jeho přidáním do souboru generátorů tento lineární obal nezměním, tj.

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall ({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})\in V)(\forall y\in V)({\vec {y}}\in \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}\quad \Rightarrow \quad \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n},{\vec {y}}\}_{\text{lin}})}$

Důkaz: Mějme ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}\in \{{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}}$. Dokažme nejprve inkluzi zleva doprava. Každá lineární kombinace z ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}}$ se dá zřejmě vyjádřit jako ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}+0{\vec {y}}}$, tj. leží i v ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n},{\vec {y}}\}_{\text{lin}}}$. Nyní opačná inkluze. Mějme lineární kombinaci z ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n},{\vec {y}}\}_{\text{lin}}}$ tvaru ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}+\alpha _{n+1}{\vec {y}}}$. Víme navíc z předpokladů, že ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}}$ se dá vyjádřit jako jistá lineární kombinace tvaru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}=\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}{\vec {x}}_{j}}$. Dosazením do původní lineární kombinace tak dostáváme ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}+\alpha _{n+1}(\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}{\vec {x}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}+\alpha _{n+1}\beta _{i}){\vec {x}}_{i}}$. Tj. obdrželi jsme lineární kombinaci z ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}}$.

• Lineární obal lineárního obalu množiny ${\displaystyle \scriptstyle M}$ je roven lineárnímu obalu množiny ${\displaystyle \scriptstyle M}$, tj.

${\displaystyle (\forall M\subset V)(M\neq \emptyset )(M_{\text{lin}}=(M_{\text{lin}})_{\text{lin}})}$

Důkaz: Inkluze zleva doprava je zřejmá. Generátory lineárního obalu lineárního obalu jsou prvky původního lineárního obalu. Pro inkluzi zprava doleva si stačí uvědomit, že vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {z}}\in (M_{\text{lin}})_{\text{lin}}}$ má tvar ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {z}}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {y}}_{i}}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle (\forall i\in \{1,\ldots ,k\})({\vec {y}}_{i}\in M_{\text{lin}})}$. Tedy ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i}=\sum _{j_{i}=1}^{l_{i}}(\beta _{i})_{j_{i}}({\vec {x}}_{i})_{j_{i}}}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle (\forall j_{i}\in \{1,\ldots ,l\})(({\vec {x}}_{i})_{j_{i}}\in M)}$. (Pro každé ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i}}$ mám obecně jinou sadu vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$, proto označujeme ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ dvěma indexy.) Celkem tedy dostáváme ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {z}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j_{i}=1}^{l_{i}}\alpha _{i}(\beta _{i})_{j_{i}}({\vec {x}}_{i})_{j_{i}}}$, což je lineární kombinace vektorů z ${\displaystyle \scriptstyle M}$.

• Neprázdná množina ${\displaystyle \scriptstyle M}$ je podmnožinou svého lineárního obalu, tj.

${\displaystyle (\forall M\subset V)(M\neq \emptyset )(M\subset M_{\text{lin}})}$

Důkaz: Mám-li vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in M}$, tak ho můžu chápat jako generátor lineárního obalu ${\displaystyle \scriptstyle M_{\text{lin}}}$ a jemu odpovídající lineární kombinace má všechny koeficienty nulové vyjma toho, který přísluší právě vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ coby generátoru (tento koeficient je pak roven jedné).

• Pokud je ${\displaystyle \scriptstyle M}$ neprázdnou podmnožinou ${\displaystyle \scriptstyle N}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle M,N\subset V}$, tak lineární obal množiny ${\displaystyle \scriptstyle M}$ je podmnožinou lineárního obalu podmnožiny ${\displaystyle \scriptstyle N}$, tj.

${\displaystyle (\forall M,N\subset V)(M,N\neq \emptyset )(M\subset N\quad \Rightarrow \quad M_{\text{lin}}\subset N_{\text{lin}})}$

Důkaz: Neboť generátory ${\displaystyle \scriptstyle M_{\text{lin}}}$ leží v ${\displaystyle \scriptstyle M}$, tj. i v ${\displaystyle \scriptstyle N}$, tak tvoří podmnožinu generátorů ${\displaystyle \scriptstyle N_{\text{lin}}}$.

Mějme množinu ${\displaystyle \scriptstyle n}$ lineárně nezávislých vektorů ${\displaystyle \scriptstyle X=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}}$ a dále množinu ${\displaystyle \scriptstyle m}$ vektorů ${\displaystyle \scriptstyle Y=\{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{m}\}}$. Nechť lze navíc libovolný vektor z množiny ${\displaystyle \scriptstyle X}$ vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny ${\displaystyle \scriptstyle Y}$. Pak platí, že vektorů v množině ${\displaystyle \scriptstyle X}$ nemůže být víc než vektorů v množině ${\displaystyle \scriptstyle Y}$. Pokud jich je stejně, tak se lineární obaly množin ${\displaystyle \scriptstyle X}$ a ${\displaystyle \scriptstyle Y}$ rovnají. Pokud je vektorů v množině ${\displaystyle \scriptstyle Y}$ více než vektorů v ${\displaystyle \scriptstyle X}$, tak lze ke generátorům lineárního obalu množiny ${\displaystyle \scriptstyle X}$ přidat vhodných ${\displaystyle \scriptstyle m-n}$ dodatečných vektorů z množiny ${\displaystyle \scriptstyle Y}$ tak, že tyto vektory dohromady generují lineární obal množiny ${\displaystyle \scriptstyle Y}$.

Uvažujme vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle V=\mathbb {R} ^{4}}$ nad tělesem reálných čísel ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ s klasicky zavedenými operacemi sčítání vektorů a násobení vektorů číslem (tj. po prvcích). Dále vezměme následující tři vektory

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}4\\2\\-6\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

Obecná lineární kombinace těchto tří vektorů bude vypadat následovně

${\displaystyle \alpha _{1}{\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\0\end{pmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+\alpha _{3}{\begin{pmatrix}4\\2\\-6\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha _{2}+4\alpha _{3}\\\alpha _{1}+2\alpha _{3}\\-3\alpha _{1}-6\alpha _{3}\\\alpha _{3}\end{pmatrix}}}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in \mathbb {R} }$. Lineární obal výše uvedených vektorů tedy zní

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}4\\2\\-6\\1\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}}=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha _{2}+4\alpha _{3}\\\alpha _{1}+2\alpha _{3}\\-3\alpha _{1}-6\alpha _{3}\\\alpha _{3}\end{pmatrix}}{\Bigg |}\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in \mathbb {R} \right\}}$

Nyní uvažujme tutéž situaci jako v prvním příkladu s jediným malým rozdílem: položme čtvrtou složku třetího vektoru rovnou nule. Máme tedy vektory

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}4\\2\\-6\\0\end{pmatrix}}\right\}}$

Tato zdánlivě malá změna má poněkud větší následky ve tvaru výsledného lineárního obalu. Je totiž snadno vidět, že třetí vektor je nyní lineární kombinací dvou předchozích, konkrétně součtem dvojnásobku prvního a čtyřnásobku druhého. Neboli

${\displaystyle 2{\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\0\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\2\\-6\\0\end{pmatrix}}}$

Obecná lineární kombinace těchto tří vektorů má tvar

${\displaystyle \alpha _{1}{\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\0\end{pmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+\alpha _{3}{\begin{pmatrix}4\\2\\-6\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha _{2}+4\alpha _{3}\\\alpha _{1}+2\alpha _{3}\\-3\alpha _{1}-6\alpha _{3}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha _{2}+4\alpha _{3}\\\alpha _{1}+2\alpha _{3}\\-3(\alpha _{1}+2\alpha _{3})\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta \\\gamma \\-3\gamma \\0\end{pmatrix}}}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in \mathbb {R} }$ a

${\displaystyle \beta =\alpha _{2}+4\alpha _{3},\gamma =\alpha _{1}+2\alpha _{3}}$.

Všechny možné lineární kombinace máme nyní popsány pouze dvěma parametry ${\displaystyle \scriptstyle \beta ,\gamma \in \mathbb {R} }$. To je následek toho, že lze třetí vektor vyjádřit pomocí dvou předchozích, neboli tři vektory výše jsou lineárně závislé. Lineární obal těchto tří vektorů tedy vypadá následovně

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}4\\2\\-6\\0\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}}=\left\{{\begin{pmatrix}\beta \\\gamma \\-3\gamma \\0\end{pmatrix}}{\Bigg |}\beta ,\gamma \in \mathbb {R} \right\}}$

Teď pro změnu uvažujme vektorový prostor všech spojitých funkcí nad reálným tělesem ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ s přirozeně definovanými operacemi sčítání a násobení funkce číslem. Dále uvažujme (nekonečnou) množinu všech funkcí tvaru

${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k},\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$

(Jedná se vlastně o jednoparametrickou množinu funkcí parametrizovanou přirozeným parametrem ${\displaystyle \scriptstyle k}$, který může nabývat i nulové hodnoty.) Lineární obal takovéto množiny funkcí ${\displaystyle \scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ je množina všech reálných polynomů, tj. funkcí tvaru

${\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}x^{k},\quad n\in \mathbb {N} ,}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle (\forall k\in \{0,\ldots ,n\})(\alpha _{k}\in \mathbb {R} )}$. Bereme tedy jen konečné lineární kombinace prvků z ${\displaystyle \scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$, viz poznámka u definice lineárních obalů pro nekonečné množiny.

Vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle V}$ v definici zahrnuje i těleso, nad kterým je definován. Ačkoli můžeme brát "tutéž" množinu vektorů, tak se její vlastnosti v závislosti na zvoleném tělese můžou velmi lišit. Uvažujme množinu ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{2}}$ (zatím jen jako množinu, ne jako vektorový prostor). V této množině dále uvažujme tři její prvky následujícího tvaru:

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}i\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\},}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle i}$ značí imaginární jednotku. Bereme-li nyní množinu ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{2}}$ jako vektorový prostor s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení číslem z tělesa, tak se lineární obal tří výše uvedených vektorů liší podle toho, jaké těleso jsme si zvolili. Konkrétně, pokud uvažujeme ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{2}}$ jako vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$, tak lineární obal vektorů výše vypadá takto

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}i\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}}\quad =\quad \left\{{\begin{pmatrix}\alpha +i\beta \\\gamma \end{pmatrix}}{\Bigg |}\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} \right\},}$

zatímco vezmeme-li za těleso množinu komplexních čísel ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$, jsou tři výše uvedené vektory lineárně závislé a výsledný lineární obal má na rozdíl od předchozího případu jen dva generátory

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}i\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}}\quad =\quad \left\{{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}{\Bigg |}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} \right\}\quad =\quad \mathbb {C} ^{2}.}$

Ve druhém případě je tedy lineární obal zmíněných vektorů roven celému prostoru ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{2}}$, přičemž v příkladu prvním tvořil pouhou vlastní podmnožinu. Rozdíl mezi reálným a komplexním tělesem v tomto případě tkví v tom, že zatímco vektor

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i\\0\end{pmatrix}}}$

je v prostoru nad komplexním tělesem pouhým násobkem vektoru

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},}$

v prostoru nad reálným tělesem je nutno brát tyto dva vektory jako dva různé. Imaginární jednotka totiž není reálné číslo.

• Afinní obal
• Konvexní obal
• Konvexní množina
• Vektorový prostor
• Lineární kombinace

• BALKOVÁ, Ľubomíra. Lineární algebra 1. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2013. ISBN 978-80-01-05346-1. – skripta FJFI ČVUT

• BLANK, Jiří; EXNER, Pavel; HAVLÍČEK, Miloslav. Lineární operátory v kvantové fyzice. Praha: Karolinum, 1993. ISBN 80-7066-586-6.