Hermitovská matice

Hermitovská matice neboli samoadjungovaná matice neboli samosdružená matice je v oboru lineární algebry taková čtvercová matice s prvky z oboru komplexních čísel, ve které jsou všechny dvojice prvků $a_{ij}$ , $a_{ji}$ komplexně sdružené, tedy

a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,.

Totéž lze vyjádřit podmínkou, že pro danou matici je matice adjungovaná rovna matici transponované, tedy platí:

A=A^{*}={\overline {A}}^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}

Příklady

Matice
${\begin{pmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{pmatrix}},$ kde $i={\sqrt {-1}}$ je imaginární jednotka, je hermitovská.
Pauliho matice:
$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

jsou hermitovské.

Vlastnosti

Reálná část hermitovské matice je symetrická, tj. $\mathrm {Re} (a_{jk})=\mathrm {Re} (a_{kj})\,,$ zatímco imaginární část je antisymetrická, tj. $\mathrm {Im} (a_{jk})=-\mathrm {Im} (a_{kj})\,.$
Na diagonále má hermitovská matice reálná čísla.
Pro matice z reálných čísel odpovídají hermitovské matice právě těm symetrickým.
Hermitovské matice jsou normální, tj. $A^{*}\cdot A=A\cdot A^{*}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hermitesche Matrix na německé Wikipedii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.