Těleso (algebra)

Trojici ${\displaystyle ({\mathcal {F}},+,\cdot )}$, kde ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je množina a + (sčítání) a ${\displaystyle \cdot }$ (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li ${\displaystyle ({\mathcal {F}},+,\cdot )}$ okruh a platí-li navíc

• pro každé ${\displaystyle x\in {\mathcal {F}}\setminus \{0\}}$ existuje ${\displaystyle y\in {\mathcal {F}}}$ takové, že ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=1}$, což značíme ${\displaystyle y=x^{-1}}$.

Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina F s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:

• sčítání, přičemž (F,+,-,0) je Abelova grupa (+ je komutativní),
• násobení, přičemž ${\displaystyle (F\setminus \{0\},\cdot ,^{-1},1)}$ je grupa,

a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.

${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$

${\displaystyle (b+c)a=ba+ca}$

Nadtěleso tělesa ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je takové těleso, že ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je jeho podmnožinou.

• Množina racionálních čísel ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Množina reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Kvaterniony, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Těleso (reálných) racionálních funkcí ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$
• Množina zbytkových tříd ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ pro každé prvočíslo ${\displaystyle p}$.
• Galoisova tělesa ${\displaystyle \operatorname {GF} (p^{n})}$

• Archimédovské těleso (algebra)

• Skripta Pěstujeme lineární algebru
• Komutativní těleso na MathWorld (en)
• Generování konečných těles