Stopa (algebra)

Stopa je v oboru lineární algebry označení pro součet prvků na hlavní diagonále čtvercové matice. Pro matici:

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}

má tedy stopa podobu

\operatorname {Stopa} (A)=\sum _{j=1}^{n}a_{jj}=a_{11}+a_{22}+\dotsb +a_{nn}

Vlastnosti

Stopa je lineární zobrazení, tedy pro libovolné matice $A$ a $B$ nad tělesem $T$ a libovolné $r,s\in T$ platí
$\operatorname {Stopa} (rA+sB)=r\cdot \mathrm {Stopa} (A)+s\cdot \mathrm {Stopa} (B).$
Stopa se nemění transpozicí:
$\operatorname {Stopa} (A)=\mathrm {Stopa} (A^{T})$
Stopa reálné nebo komplexní matice je rovna součtu jejích vlastních čísel (včetně násobnosti)
Pro matice $A\in T^{n\times m}$ a $B\in T^{m\times n}$ platí
$\operatorname {Stopa} (A\cdot B)=\mathrm {Stopa} (B\cdot A).$
Podobné matice mají stejnou stopu, stopa je tedy invariantní vůči změně báze. Jinými slovy je-li dána matice $A\in T^{n\times n}$ a regulární matice přechodu $B\in T^{n\times n}$ , pak
$\operatorname {Stopa} \left(B^{-1}\cdot A\cdot B\right)=\mathrm {Stopa} (A).$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Spur (Mathematik) na německé Wikipedii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.