Lineární kombinace

V předchozí sekci jsme si ukázali, jak lze n-tice čísel graficky zobrazovat, explicitně jsme si to ukázali pro n=2. Nyní se podívejme na uspořádané trojice čísel. Mějme zadaný vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ a množinu dvou vektorů ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2}\}}$, jejichž explicitní tvar je

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}},\quad {\vec {x}}_{1}={\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},\quad {\vec {x}}_{2}={\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}.}$

Ptáme se, zda lze vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$. Lineární kombinace těchto vektorů s obecnými koeficienty ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{2}}$ vypadá následovně

${\displaystyle \alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}=\alpha _{1}{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\alpha _{1}+3\alpha _{2}\\\alpha _{2}\\\alpha _{1}+\alpha _{2}\end{pmatrix}},}$

kde jsme využili toho, jak je definován součet dvou vektorů a jejich číselný násobek. Aby byla daná lineární kombinace rovná pro nějaké hodnoty koeficientů vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$, tak musí platit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\alpha _{1}+3\alpha _{2}\\\alpha _{2}\\\alpha _{1}+\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}},}$

odkud je ihned patrné, že ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{2}=-1}$. Když tento vztah dosadíme do prvního řádku výše uvedené rovnosti, tak máme ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1}=2}$, když ho dosadíme do třetího řádku, tak ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1}=3}$, což není v souladu s rovností v prvním řádku. Zjistili jsme tak, že vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ nelze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$. Pokud ale vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$ nahradíme vektorem

${\displaystyle {\vec {x}}_{3}={\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}},}$

dostaneme rovnost

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\alpha _{1}+5\alpha _{2}\\\alpha _{2}\\\alpha _{1}+\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}},}$

jejímž řešením je ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1}=3}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{2}=-1}$. Dokázali jsme tak rovnost

${\displaystyle {\vec {x}}=3{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{3}.}$

V oddíle Geometrická interpretace a v předchozím příkladě jsme viděli vytváření lineárních kombinací aritmetických vektorů. Množiny tohoto druhu vektorů, n-tic čísel, jsou patrně nejčastějšími příklady vektorových prostorů. Vektorové prostory jsou ale mnohem rozmanitější, můžeme například uvažovat vektorový prostor všech spojitých funkcí reálné proměnné.

Mějme například funkci

${\displaystyle f(x)=(3x+2)^{2}.}$

Předpis této funkce lze zřejmě rozepsat jako ${\displaystyle \scriptstyle 9x^{2}+12x+4}$. Tuto funkci tak můžeme chápat jako lineární kombinaci funkcí ${\displaystyle \scriptstyle g_{1}(x)=x^{2},g_{2}(x)=x,g_{3}(x)=1}$ s koeficienty ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1}=9,\alpha _{2}=12,\alpha _{3}=4}$. Tutéž funkci ale můžeme současně chápat i jako lineární kombinaci funkcí ${\displaystyle \scriptstyle h_{1}(x)=x^{2},h_{2}(x)=3x+1}$ s koeficienty ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1}=9,\alpha _{2}=4}$, nebo dokonce jako lineární kombinaci funkcí

${\displaystyle G_{1}(x,y)=(x+y)^{2}+{\frac {4}{9}}\sin ^{2}(x),\quad G_{2}(x,y)=\cos ^{2}(x),\quad G_{3}(x,y)=6x(2-3y)-9y^{2}}$

pokud funkce reálné proměnné chápeme jako funkce dvou reálných proměnných, v nichž se druhá proměnná nevyskytuje. Pro posledně jmenované funkce pak dostáváme koeficienty lineární kombinace ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1}=9,\alpha _{2}=4,\alpha _{3}=1}$, neboť po zpětném dosazení dostáváme rovnost

${\displaystyle \alpha _{1}G_{1}(x,y)+\alpha _{2}G_{2}(x,y)+\alpha _{3}G_{3}(x,y)=9\left((x+y)^{2}+{\frac {4}{9}}\sin ^{2}(x)\right)+4{\Big (}\cos ^{2}(x){\Big )}+1{\Big (}6x(2-3y)-9y^{2}{\Big )}=9x^{2}+18xy+9y^{2}+4\sin ^{2}(x)+4\cos ^{2}(x)+12x-18xy-9y^{2}=9x^{2}+4+12x=(3x+2)^{2}=f(x),}$

kde jsme využili známého vzorce ${\displaystyle \scriptstyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$. Vidíme tedy, že rozklad vektoru do lineární kombinace není jednoznačný, pokud nespecifikujeme, jaké vektory se mají v lineární kombinaci vyskytovat.

Speciálními případy spojitých funkcí jsou polynomy. Polynomem je například i funkce ${\displaystyle \scriptstyle f}$ z předchozího příkladu. Viděli jsme, že lze tuto funkci vyjádřit jako lineární kombinaci mnoha jiných funkcí. Ptejme se nyní, zda lze tuto funkci napsat jako lineární kombinaci následujících tří polynomů a pokud ano, pokusme se nalézt dané koeficienty:

${\displaystyle p_{1}(x)=x^{2}-1,\quad p_{2}(x)=x^{2}+x+1,\quad p_{3}(x)=x^{2}-{\frac {7}{2}}x.}$

Začněme svůj postup tím, že si napíšeme obecný tvar lineární kombinace, do které dosadíme naše polynomy ${\displaystyle \scriptstyle p_{1},p_{2},p_{3}}$:

${\displaystyle \alpha _{1}p_{1}(x)+\alpha _{2}p_{2}(x)+\alpha _{3}p_{3}(x)=\alpha _{1}(x^{2}-1)+\alpha _{2}(x^{2}+x+1)+\alpha _{3}(x^{2}-{\frac {7}{2}}x)=(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})x^{2}+(\alpha _{2}-{\frac {7}{2}}\alpha _{3})x+(-\alpha _{1}+\alpha _{2}).}$

Právě jsme si koeficienty shlukli ke stejným mocninám proměnné ${\displaystyle \scriptstyle x}$. Chtěli bychom vědět, zda výraz výše může být pro nějaké hodnoty koeficientů roven výrazu

${\displaystyle f(x)=(3x+2)^{2}=9x^{2}+12x+4.}$

Máme tedy rovnost dvou funkcí závislých na proměnné ${\displaystyle \scriptstyle x}$:

${\displaystyle 9x^{2}+12x+4=(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})x^{2}+(\alpha _{2}-{\frac {7}{2}}\alpha _{3})x+(-\alpha _{1}+\alpha _{2}).}$

Protože se mají rovnat dvě funkce závislé na proměnné ${\displaystyle \scriptstyle x}$, musí být rovnost splněna pro všechny hodnoty proměnné a tedy musejí čísla před každou mocninou proměnné být v obou výrazech rovna. Dostáváme tak soustavu rovnic

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}&=&9\\\quad \quad \alpha _{2}-{\frac {7}{2}}\alpha _{3}&=&12\\-\alpha _{1}+\alpha _{2}\quad \quad &=&4\end{aligned}}}$

Vyjádřeme si z poslední rovnice ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{2}=4+\alpha _{1}}$ a dosaďme do zbylých dvou. Dostaneme tak

${\displaystyle {\begin{aligned}2\alpha _{1}+\alpha _{3}&=&5\\\quad \quad \alpha _{1}-{\frac {7}{2}}\alpha _{3}&=&8\end{aligned}}}$

Opět si z druhé rovnice vyjádřeme ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1}={\frac {7}{2}}\alpha _{3}+8}$ a dosaďme do první rovnice. Ta se následně redukuje do tvaru

${\displaystyle \alpha _{3}=-{\frac {11}{8}}.}$

Po zpětném podosazování tedy dostáváme

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {51}{16}},\quad \alpha _{2}={\frac {115}{16}},\quad \alpha _{3}=-{\frac {11}{8}}.}$

Výsledek nikterak pohledný, leč správný. Pro funkci ${\displaystyle \scriptstyle f}$ jsme tak nalezli koeficienty jejího rozkladu do polynomů ${\displaystyle \scriptstyle p_{1},p_{2},p_{3}}$.

V předchozím příkladu jsme narazili na soustavu lineárních rovnic. Podívejme se nyní na soustavy takovýchto rovnic z trochu jiného úhlu. Uvažujme nyní konkrétně následující soustavu

${\displaystyle {\begin{aligned}3x-2y+2z&=&8\\-x+\ y+2z&=&-1\\x\quad \quad \ +6z&=&6\\\ 2y-\ z&=&0\\\end{aligned}}}$

Tuto soustavu lze přepsat do kompaktnějšího tvaru tím, že se přeneseme do vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{4}}$ a zavedeme vektory

${\displaystyle {\vec {a}}_{1}={\begin{pmatrix}3\\-1\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {a}}_{2}={\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\2\end{pmatrix}},\quad {\vec {a}}_{3}={\begin{pmatrix}2\\2\\6\\-1\end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}={\begin{pmatrix}8\\-1\\6\\0\end{pmatrix}}.}$

Není těžké vidět, že lze pak výše uvedenou soustavu zapsat jako rovnost, kde na levé straně vystupuje lineární kombinace vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{3}}$:

${\displaystyle x{\vec {a}}_{1}+y{\vec {a}}_{2}+z{\vec {a}}_{3}={\vec {b}}.}$

Nyní tedy v roli koeficientů lineární kombinace vystupují proměnné ${\displaystyle \scriptstyle x,y,z}$, jejichž hodnoty chceme nalézt. Úlohu najít řešení soustavy lineárních rovnic jsme tak převedli na úlohu, kdy máme tři zadané vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{3}}$ a chceme najít takové jejich lineární kombinace, které budou rovny čtvrtému zadanému vektoru, vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {b}}}$. V našem případě jsou navíc vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{3}}$ lineárně nezávislé. Můžeme se na ně tedy dívat jako na bázi jistého trojrozměrného podprostoru v ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{4}}$. Na naši úlohu lze poté nahlížet i tak, že hledáme souřadnice vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {b}}}$ v bázi tvořené právě vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{3}}$. Pokud ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {b}}}$ neleží v jimi generovaném podprostoru, tak výše uvedená soustava rovnic nemá řešení, to ale není náš případ.

Pro úplnost, výše uvedenou vektorovou rovnici můžeme dále převézt na ještě kompaktnější tvar, naskládáme-li vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{3}}$ do matice. Označme si tuto matici ${\displaystyle \scriptstyle A}$. Navíc si ještě definujme vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ jako sloupeček neznámých proměnných, pak

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\vec {a}}_{1}\quad {\vec {a}}_{1}\quad {\vec {a}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-2&2\\-1&1&2\\1&0&6\\0&2&-1\end{pmatrix}},\quad {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

S takto zavedenou maticí můžeme výše uvedenou soustavu rovnic vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}},}$

kde se uplatňuje násobení matice ${\displaystyle \scriptstyle A}$ a vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$.

Nechť ${\displaystyle \scriptstyle V}$ je vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$, ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}\}}$ množina ${\displaystyle \scriptstyle k}$ vektorů z ${\displaystyle \scriptstyle V}$ a ${\displaystyle \scriptstyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})}$ ${\displaystyle \scriptstyle k}$-tice čísel z tělesa. Pak lineární kombinaci ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}}$ nazýváme afinní kombinace, právě když je součet jejích koeficientů roven jedné, neboli

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1.}$

Podobně jako pro klasické lineární kombinace se i pro afinní kombinace definuje afinní obal.

Nechť ${\displaystyle \scriptstyle V}$ je vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$, ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}\}}$ množina ${\displaystyle \scriptstyle k}$ vektorů z ${\displaystyle \scriptstyle V}$ a ${\displaystyle \scriptstyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})}$ ${\displaystyle \scriptstyle k}$-tice čísel z tělesa. Pak lineární kombinaci ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}}$ nazýváme konvexní kombinace, právě když je součet jejích koeficientů roven jedné a přitom jsou všechny koeficienty nezáporné, neboli

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\quad \wedge \quad (\forall i\in \{1,\ldots ,k\})(\alpha _{i}\geq 0).}$

Podobně jako pro lineární a afinní kombinace se i pro konvexní kombinace definuje konvexní obal.

• Wronskián
• Lineární závislost

• PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8. – skripta FJFI ČVUT

• Lineární kombinace v encyklopedii MathWorld (anglicky)