Maticová funkce

Uvažujme analytickou funkci

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\phi _{k}z^{k},}$

kde suma na pravé straně je Taylorova řada funkce ${\displaystyle f(z)}$ v bodě 0 (která je konvergentní). Pak lze funkci zobecnit na čtvercové matice jednoduše jako

${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{\infty }\phi _{k}A^{k}.}$

Je-li matice ${\displaystyle A}$ diagonalizovatelná, existuje regulární matice ${\displaystyle X}$ tak, že

${\displaystyle X^{-1}AX=D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}),}$

pak

${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{\infty }\phi _{k}(XDX^{-1})^{k}.}$

Protože

${\displaystyle (XDX^{-1})^{2}=(XDX^{-1})(XDX^{-1})=XD^{2}X^{-1}=X\,\mathrm {diag} (\lambda _{1}^{2},\ldots ,\lambda _{n}^{2})X^{-1},}$

pro ${\displaystyle k=3,4,5,...}$ platí

${\displaystyle (XDX^{-1})^{k}=(XDX^{-1})(XDX^{-1})^{k-1}=(XDX^{-1})(XD^{k-1}X^{-1})=XD^{k}X^{-1}=X\,\mathrm {diag} (\lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k})X^{-1},}$

a tedy

${\displaystyle f(A)=X\left(\sum _{k=0}^{\infty }\phi _{k}\,\mathrm {diag} (\lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k})\right)X^{-1}.}$

Velká závorka uprostřed je diagonální matice, obsahující na diagonále shora uvedené Taylorovy řady se ${\displaystyle z=\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, tj. právě hodnoty ${\displaystyle f(\lambda _{p}),\,p=1,\ldots ,n}$. Dostáváme tak vztah definující maticovou funkci diagonalizovatelné matice

${\displaystyle f(A)=X\,\mathrm {diag} (f(\lambda _{1}),\ldots ,f(\lambda _{n}))X^{-1}.}$

Pokud matice není diagonalizovatelná, můžeme použít Jordanův rozklad a situace je jen nepatrně složitější. Existuje regulární matice ${\displaystyle X}$ tak, že

${\displaystyle X^{-1}AX=J,}$

kde matice

${\displaystyle J=\mathrm {diag} (J_{1},\ldots ,J_{m}),\qquad J_{p}=\left({\begin{array}{ccccc}\lambda _{p}&1\\&\lambda _{p}&1\\&&\ddots &\ddots \\&&&\lambda _{p}&1\\&&&&\lambda _{p}\end{array}}\right)\in \mathbb {C} ^{n_{p}\times n_{p}},\quad p=1,\ldots ,m,}$

je blokově diagonální, s Jordanovými bloky na diagonále (zřejmě ${\displaystyle \sum _{p=1}^{m}n_{p}=m}$). Analogicky jako v předchozím případě dostaneme vztah definující maticovou funkci

${\displaystyle f(A)=X\mathrm {diag} (f(J_{1}),\ldots ,f(J_{m}))X^{-1},}$

kde

${\displaystyle f(J_{p})={\begin{pmatrix}f(\lambda _{p})&f'(\lambda _{p})&\cdots &\displaystyle {\frac {f^{(n_{p}-1)}(\lambda _{p})}{(n_{p}-1)!}}\\0&f(\lambda _{p})&\cdots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &f'(\lambda _{p})\\0&\cdots &0&f(\lambda _{p})\end{pmatrix}}.}$

Nechť je opět ${\displaystyle f(z),\,z\in \mathbb {C} }$ je analytická na otevřené množině ${\displaystyle \Omega }$ obsahující spektrum matice ${\displaystyle A}$. Nechť dále ${\displaystyle \Gamma }$ je uzavřená křivka v ${\displaystyle \Omega }$ oddělující od komplexní roviny nějakou část oblasti analyticity obsahující všechna vlastní čísla. Pak

${\displaystyle f(\lambda _{p})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {f(s)}{s-\lambda _{p}}}\,\mathrm {d} s}$,

a

${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{f(s)(sI-A)^{-1}}\,\mathrm {d} s.}$

Definici pomocí Hermiteova interpolačního polynomu nalezneme například v knize.[1]

Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá přepsat na maticovou rovnici

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax,\qquad {\text{kde}}\qquad x=x(t)}$

je vektor neznámých. Řešení je vektorový prostor generovaný sloupci matice

${\displaystyle \exp(At).}$

Při rozhodování zda je dynamický systém řiditelný nebo pozorovatelný řešíme tzv. ljapunovské rovnice

${\displaystyle AX+XA^{H}=-BB^{H},\qquad A,X\in \mathbb {C} ^{n\times n},\quad B\in \mathbb {C} ^{n\times k},}$

kde matice ${\displaystyle A}$ je stabilní (tedy ${\displaystyle \mathrm {Re} (\lambda )<0,\,\lambda \in \mathrm {sp} (A)}$). Řešení lze formálně zapsat ve tvaru

${\displaystyle X=\int _{0}^{\infty }\exp(At)BB^{H}\exp(A^{H}t)\mathrm {d} t,}$

kde se užívá maticová exponenciála.

Podobné problémy vyvstávají při úlohách redukce modelu.

V předchozí aplikaci byla zmíněna stabilní matice. Pokud matice dynamikého systému není stabilní, což se často stává, je třeba systém stabilizovat, tj. eliminovat vliv vlastních čísel s kladnou reálnou složkou ve zpětnovazební smyčce. To lze formálně realizovat znaménkovou funkcí. Nechť matice ${\displaystyle A}$ nemá žádné ryze imaginární vlastní číslo. Uvažujme dále, pro jednoduchost, že matice je normální, tj. ${\displaystyle A=XDX^{H}}$. Protože znaménková funkce je v celé komplexní rovině, kromě imaginární osy, analytická, platí

${\displaystyle \mathrm {sgn} (A)=X\,\mathrm {diag} (\mathrm {sgn} (\mathrm {Re} (\lambda _{1})),\ldots ,\mathrm {sgn} (\mathrm {Re} (\lambda _{n})))X^{H}.}$

Tedy matice

${\displaystyle P_{-}={\frac {1}{2}}(I-\mathrm {sgn} (A)),\qquad P_{+}={\frac {1}{2}}(I+\mathrm {sgn} (A))}$

jsou ortogonální projektory na podprostory generované vlastními vektory matice ${\displaystyle A}$ odpovídajícími vlastním číslům se zápornou, resp. kladnou reálnou složkou.

Je-li ${\displaystyle A}$ nenormální, pak ${\displaystyle P_{-},\,P_{+}}$ jsou šikmé projektory. Protože znaménková funkce má v celé komplexní rovině, kromě imaginární osy, nulové derivace, defektní matice (tj. s netriviálními Jordanovými bloky) nepřináší oproti diagonalizovatelným nenormálním maticím, alespoň v teorii, žádné komplikace navíc, jako tomu je u obecné funkce ${\displaystyle f}$.