LU rozklad

Mějme ${\displaystyle A}$ regulární čtvercovou matici nad libovolným tělesem, u které není třeba při Gaussově eliminaci prohazovat řádky. Pak existují také regulární matice ${\displaystyle L}$ a ${\displaystyle U}$, jsou určeny jednoznačně a platí pro ně následující tvrzení

• ${\displaystyle A=LU}$
• ${\displaystyle L}$ je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na celé hlavní diagonále.
• ${\displaystyle U}$ je horní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na hlavní diagonále.

Tomuto součinu říkáme LU rozklad matice ${\displaystyle A}$. [1]

Pokud nemáme matici ${\displaystyle A}$ takovou u které není třeba prohazovat řádky, pak lze využít rozklad ${\displaystyle PA=LU}$, kde ${\displaystyle P}$ je permutační matice (taková, která vznikla z jednotkové postupnou záměnou sloupců). Taková matice nejdříve prohází řádky matice ${\displaystyle A}$ a zbytek rozkladu zůstane stejný. [2]

Během výpočtu soustavy ${\displaystyle Ax=b}$ může nastat situace, kdy se podařila najít dolní trojúhelníková matice ${\displaystyle L}$ i horní trojúhelníková matice ${\displaystyle U}$ tak, že ${\displaystyle A=LU}$.

Potom lze nahradit v této soustavě ${\displaystyle LU}$ za ${\displaystyle A}$ a označit ${\displaystyle Ux=y}$. Z toho plyne, že ${\displaystyle LUx=b\Leftrightarrow Ly=b}$ a ${\displaystyle Ux=y}$.

To je užitečně, pokud máme sérii výpočtů, ve které se pravá strana ${\displaystyle b}$ v jednotlivých případech mění, ale levá strana zůstává stejná. Toto řešení pomocí LU rozkladu je časově výhodnější než opakované počítání stejné soustavy.[3]

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{1}&{3}&{-2}\\{4}&{2}&{8}\\{-3}&{1}&{0}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{1}&{3}&{-2}\\{4}&{2}&{8}\\{-3}&{1}&{0}\\\end{pmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{4}&{1}&{0}\\{-3}&{0}&{1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{1}&{3}&{-2}\\{0}&{-10}&{16}\\{0}&{10}&{-6}\\\end{pmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{4}&{1}&{0}\\{-3}&{-1}&{1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{1}&{3}&{-2}\\{0}&{-10}&{16}\\{0}&{0}&{10}\\\end{pmatrix}}=\mathbf {LU} }$.[4]