Funkce (matematika)

Na množině čísel ${\displaystyle M}$ je definovaná funkce, je-li dán předpis, podle kterého je každému x náležícímu do množiny ${\displaystyle D\subseteq M}$ přiřazeno právě jedno číslo y.

Značíme: ${\displaystyle y=f(x)}$.

Proměnná ${\displaystyle x}$ se označuje jako argument funkce (nezávisle proměnná). Proměnná ${\displaystyle y}$ je funkční hodnota (závisle proměnná).

Množinu ${\displaystyle D}$, na které je funkce definovaná, nazýváme (definičním) oborem (nebo také doménou) funkce. Pokud není při zadání funkce uveden definiční obor, pak se za definiční obor obvykle považuje množina všech hodnot nezávisle proměnné, pro něž má funkce smysl. Definičním oborem může být například množina celých, reálných nebo komplexních čísel. Definiční obor může mít i více dimenzí. Pokud má dvě, pak můžeme říkat, že má funkce dva argumenty, nebo že jejím argumentem je jeden dvourozměrný vektor. Jedná se o dva pohledy na stejnou věc. V případě, že má vektor, který je argumentem funkce, nekonečnou dimenzi (většinou nespočetnou), nemluvíme již o funkci, ale o funkcionálu.

Množinu všech čísel ${\displaystyle \ f(x)}$, takových, že ${\displaystyle x\in \ D}$, nazýváme oborem hodnot (kooborem) dané funkce.

Funkcí rozumíme zobrazení ${\displaystyle f}$ z libovolné množiny ${\displaystyle M}$ do číselné množiny ${\displaystyle T}$. Funkce ${\displaystyle f}$ je binární relací ${\displaystyle [f;M,T]}$, kde platí, že každému prvku ${\displaystyle x\in \ M}$ je přiřazeno nejvýše jedno číslo ${\displaystyle y\in \ T}$, že ${\displaystyle [x,y]\in f}$ (jestliže ${\displaystyle [x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}]\in f}$ a ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$, pak ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$). Místo ${\displaystyle [x,y]\in f}$ často píšeme ${\displaystyle y=f(x)}$, kde ${\displaystyle y}$ nazýváme funkční hodnotou funkce ${\displaystyle f}$.[2]

Definičním oborem funkce je pak podmnožina ${\displaystyle D}$ všech prvků množiny ${\displaystyle M}$, ke kterým taková uspořádaná dvojice existuje právě jedna. Říkáme, že pro prvky množiny ${\displaystyle M}$, které nejsou prvky definičního oboru, daná funkce není definována.

Oborem hodnot dané funkce je množina všech prvků y množiny T, ke kterým v relaci existuje alespoň jedna uspořádaná dvojice ${\displaystyle [x,y]\in f}$, kde ${\displaystyle x\in D}$.

Analytickým předpisem rozumíme zadání funkce ve formě ${\displaystyle y=f(x)}$, pak říkáme, že funkce je zadána explicitním vyjádřením (explicitní funkce). Funkci můžeme vyjádřit také v implicitním tvaru (implicitní funkce) jako ${\displaystyle F(x,y)=0}$. Dalším způsobem je zápis v parametrickém tvaru (parametrická funkce) soustavou rovnic ${\displaystyle x=f_{1}(t)}$, ${\displaystyle y=f_{2}(t)}$, kde ${\displaystyle t}$ je vhodný parametr.

Např. ${\displaystyle y=2x^{2}}$ je explicitní zápis kvadratické funkce. V implicitním tvaru lze stejnou rovnici zapsat jako ${\displaystyle y-2x^{2}=0}$. V parametrickém tvaru lze zvolit např. soustavu rovnic ${\displaystyle x={\frac {t}{\sqrt {2}}}}$, ${\displaystyle y=t^{2}}$.

Při grafickém zadání funkci vyjádříme grafem.

Příklad zadání funkce grafem (${\displaystyle D(x)}$ označuje definiční obor a ${\displaystyle V(y)}$ obor hodnot)

Zadání funkce grafem.

Funkční předpis může být zadán také výčtem hodnot, který obvykle uspořádáme do tabulky.

Příkladem může být např. zadání funkce

${\displaystyle x}$	1	2	3	7	9
${\displaystyle y}$	2	4	5	3	3

Definičním oborem je zde množina ${\displaystyle \{1,2,3,7,9\}}$ a oborem hodnot je množina ${\displaystyle \{2,3,4,5\}}$.

Funkce je algebraická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru polynomu, například pokud lze funkci ${\displaystyle y=f(x)}$ vyjádřit jako ${\displaystyle P(x,y)=0}$, kde ${\displaystyle P}$ je polynom, pak se jedná o algebraickou funkci. Stupeň polynomu ${\displaystyle P}$ pak určuje stupeň funkce. Funkce, které nejsou algebraické, se označují jako transcendentní. Mezi transcendentní funkce se řadí funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens, exponenciální, logaritmické, případně další, které není možné vyjádřit pomocí elementárních funkcí.

Algebraické funkce lze dále rozdělit na racionální funkce a iracionální funkce. Iracionální funkce jsou funkce obsahující ${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}}$, kde ${\displaystyle m,n}$ jsou nesoudělná čísla.

Transcendentní funkce lze rozdělit na nižší, kam patří například exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické funkce, a vyšší, například chybová funkce či eliptické integrály. Vyšší transcendentní funkce nelze pomocí elementárních funkcí vyjádřit v konečném tvaru.^[zdroj?!]

Zvláštním případem zadání funkce je tzv. rekurzivní funkce. Zadání funkce rekurentně je zadání předpisu, který dává do vztahu nějaké hodnoty funkce s jinými hodnotami takovým způsobem, že funkce je dobře definována.

Příkladem takové funkce může být např. funkce definovaná na přirozených číslech, kterou definujeme vztahy ${\displaystyle f(0)=1}$ a ${\displaystyle f(n)=n\cdot f(n-1)}$ pro ${\displaystyle n=1,2,...}$. Uvedenou funkci lze také zapsat jako ${\displaystyle f(n)=n!}$, tzn. tato funkce počítá faktoriál.

Celý proces výpočtu rekurzivní funkce je označován jako rekurze a našel uplatnění především ve výpočetní technice.