Dirichletova funkce

Náznak grafu Dirichletovy funkce. Skutečný graf této funkce nelze žádným způsobem nakreslit ani si ho představit, což vedlo mnohé matematiky zejména v 19. století k pochybám, zda Dirichletova funkce je skutečně funkcí či jakousi "příšerou", která nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Dirichletova funkce ${\displaystyle D(x)}$ je definována následujícím předpisem[1]:

${\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&{\mbox{pokud}}\ x\ {\mbox{je racionální číslo}}\\0,&{\mbox{pokud}}\ x\ {\mbox{je iracionální číslo.}}\end{cases}}}$

Ekvivalentně lze definovat: ${\displaystyle D(x):=\lim _{m\rightarrow \infty }\lim _{n\rightarrow \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)}$.

Dirichletova funkce:

• není spojitá v žádném bodě[1]
• nemá dokonce v žádném bodě limitu a to ani jednostrannou[1]
• není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě[1]
• nabývá maxima v každém racionálním bodě a minima v každém iracionálním bodě
• na žádném intervalu pro ni není definován Newtonův[2] ani Riemannův integrál
• Lebesgueův integrál a Kurzweilův integrál přes libovolný interval je roven 0

• Charakteristická funkce
• Peter Dirichlet
• Riemannova funkce
• Křivka vyplňující prostor

• Dirichletova funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Dirichletova funkce a její modifikace: http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txc3ba4s.htm