Elementární funkce

Jako elementární funkce je označována funkce, kterou lze získat konečným počtem sečtení, odečtení, násobení, dělení a složení z exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkce. Funkce, které nelze vyjádřit prostřednictvím konečného počtu elementárních funkcí, se označují jako vyšší transcendentní funkce.

Jedná se tedy o algebraické funkce a dále o skupinu transcendentních funkcí, označovaných také jako nižší transcendentní funkce. Elementární jsou tedy ty funkce, se kterými se lidé obvykle seznamují v rámci středoškolské matematiky, a které si proto zvykli vnímat jako "základní".

Jelikož goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce, stejně jako obecnou mocninu, lze v komplexním oboru vyjádřit pomocí exponenciály a logaritmu, tak se někdy v úvodní definici mluví jen o exponenciále, logaritmu a konstantě.

Příklady

Mezi elementární funkce řadíme například:

${\frac {e^{\tan(x)}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+\ln ^{2}x}}\,\right),$
$\,\ln(-x^{2}).$

Příkladem funkce, která není elementární, je chybová funkce: $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.$

Vlastnosti

Z čistě matematického hlediska nemají žádný jednotný charakter. Ale přesto existují určité společné vlastnosti. Všechny elementární funkce jsou

diferencovatelné na svém definičním oboru kromě případných izolovaných bodů.
spojité, takže existují i primitivní funkce (jsou integrovatelné).

Příklad: Mějme funkci $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,~f(x)={\sqrt {\sin ^{2}(x)}}=\left|\sin(x)\right|$ . Tato funkce je diferencovatelná všude kromě bodů $x=k\pi \,$ , kde $k\,$ je celé číslo. Primitivní funkce také zjevně existuje.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu elementární funkce na Wikimedia Commons
Elementární funkce - studijní materiál VŠB

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.