Prostá funkce

Funkci ${\displaystyle f}$ na definičním oboru ${\displaystyle D}$ označujeme jako prostou na ${\displaystyle D}$, pokud pro každé dvě hodnoty ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ z ${\displaystyle D}$ platí ${\displaystyle f(x_{1})\neq f(x_{2})}$, tedy pro libovolnou dvojici různých ${\displaystyle x}$ jsou různé i hodnoty funkce ${\displaystyle f(x)}$.

Příkladem prosté funkce je např. libovolná lineární funkce s nenulovým koeficientem ${\displaystyle f(x)=ax+b,a\neq 0}$ – vynásobení stejným nenulovým číslem a přičtení stejného čísla ke dvěma různým číslům nemůže nikdy vést ke stejnému výsledku. Naopak příkladem neprosté funkce je druhá mocnina ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, neboť např. ${\displaystyle f(-2)=f(2)=4}$.

Pokud je funkce ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle D}$ ostře monotonní (tedy její hodnoty neustále rostou nebo neustále klesají), pak je na ${\displaystyle D}$ také prostá, neboť se v žádném jiném bodu nemůže vrátit do stejného výsledku. Opačné tvrzení (tedy že pokud je funkce prostá, pak je i ostře monotonní) platí pouze pro spojité funkce, u nichž nemůže dojít ke "skokovým" změnám funkčních hodnot; pro tyto funkce jsou tak tvrzení o prostosti a ostré monotonicitě ekvivalentní.

Mezi funkcemi nespojitými však existují případy prostých funkcí, které ostře monotonní nejsou. Např. prostá funkce ${\displaystyle 1\to 3,2\to 4,3\to 2,4\to 1}$ je na množině ${\displaystyle \{1,2\}}$ rostoucí, zatímco na množině ${\displaystyle \{3,4\}}$ klesající, a na svém celém definičním oboru tedy není monotonní.

K prosté funkci existuje funkce inverzní – např. k funkci exponenciální je inverzní funkcí logaritmus. Funkcím, které nejsou prosté, nelze inverzní funkci přiřadit; pokud jsou však prosté na určité podmnožině svého definičního oboru, lze je invertovat na této podmnožině – takto je např. druhá odmocnina inverzní funkcí k druhé mocnině na intervalu ${\displaystyle x\geq 0}$, protože druhá mocnina je na tomto intervalu prostá.