Množina

V matematice množiny často značíme velkými písmeny, její prvky malými. Je-li prvek ${\displaystyle a}$ prvkem množiny ${\displaystyle B}$, píšeme: ${\displaystyle a\in B}$

Prázdnou množinu značíme symbolem: ${\displaystyle \emptyset }$

Množina je obvykle určena výčtem jejích prvků nebo definováním charakteristické vlastnosti prvků množiny.

Při popisu výčtem prvků postupujeme tak, že vypíšeme všechny prvky, které patří do dané množiny, např. množinu ${\displaystyle A}$ obsahující prvky 1, 2, 5, 8 vyjádříme jako ${\displaystyle A=\{1,2,5,8\}}$. Při zadání množiny výčtem prvků nezáleží na pořadí prvků, tzn. množina ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ je totožná s množinou ${\displaystyle \{c,b,a\}}$.

Při definování množiny pomocí charakteristické vlastnosti určíme vlastnost, která je charakteristická pro prvky, které patří do dané množiny. Např. množinu ${\displaystyle A}$ obsahující samohlásky latinské abecedy můžeme zapsat jako ${\displaystyle A=\{x|x\;je\;samohl{\acute {a}}skou\;latinsk{\acute {e}}\;abecedy\}}$. Taková množina pak obsahuje prvky ${\displaystyle \{a,e,i,o,u,y\}}$ (tento zápis, který je ekvivalentní předchozímu, zadává množinu ${\displaystyle A}$ výčtem prvků). U takové definice množiny (charakteristickou vlastností) musíme však být opatrní, protože můžeme snadno dostat paradox. Například množina všech takových množin, které neobsahují sama sebe, je zjevně nesmysl, protože z definice se má sama obsahovat právě když se sama neobsahuje.

Právě takové důvody vedly na začátku 20. století ke vzniku axiomatické teorie množin, ve které jsou položena přesná pravidla o tom, co množina je a co není. V současnosti je takových axiomatických teorií několik, nejpoužívanější je Zermelo-Fraenkelova teorie množin (ZF).

V takových axiomatizovaných teoriích množin, obvykle nesmí množina obsahovat jiné prvky, než zase jenom množiny a nic jiného. K sestavení dalších množin nám postačí prázdná množina. Můžeme tak získat například množiny:

${\displaystyle \{\emptyset \}}$ je množina obsahující prázdnou množinu. Vzhledem k tomu, že obsahuje právě jen jeden objekt (totiž prázdnou množinu), jde o jednoprvkovou množinu.

${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}}$ je množina obsahující prázdnou množinu a množinu obsahující prázdnou množinu. Jde tedy o dvouprvkovou množinu.

Pokud nám to axiomy dané teorie množin dovolí, můžeme zkonstruovat i nekonečné množiny, například:

${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\{\emptyset \}\},\{\{\{\emptyset \}\}\},...,\{...\{\emptyset \}...\},...\}}$

• 
  Průnik dvou množin
  ${\displaystyle ~A\cap B}$
• 
  Sjednocení dvou množin
  ${\displaystyle ~A\cup B}$
• 
  Rozdíl množin A (vlevo) a B (vpravo)
  ${\displaystyle A^{c}\cap B~=~B\setminus A}$
• 
  Symetrická diference dvou množin
  ${\displaystyle A~\triangle ~B}$
• 
  Doplněk A v U
  ${\displaystyle A^{c}~=~U\setminus A}$

Množina (prostá) nemůže obsahovat žádné prvky vícekrát. Pokud je potřeba pracovat se souhrny obsahujícími více „stejných“ předmětů (např. stůl a čtyři židle), je lepší používat pojem multimnožina nebo kolekce, zavedený v informatice. Pokud se prvky mohou opakovat a záleží na jejich pořadí (jako např. u písmen ve slově ABBA), jedná se o posloupnost.

Množinou není každý soubor prvků, byť v běžném jazyce se to tak chápe. V matematice vede vytváření libovolných souhrnů prvků k paradoxům, například neexistuje množina obsahující všechny množiny, jak říká Russellova antinomie. Proto jsou libovolné souhrny nazývány třídou a jenom některé třídy jsou potom množinami. Množina je takový souhrn prvků, který je sám prvkem nějaké třídy.

Podle počtu prvků se mluví o mohutnosti množin. Nelze tedy hovořit o velikosti, jde o jinou veličinu, s jinou definicí. Základní stupně mohutnosti jsou tyto:

• množiny konečné mohutnosti neboli konečné množiny, mají konečný počet prvků,
• množiny nekonečné mohutnosti neboli množiny nekonečné,
• množiny spočetné – nekonečné množiny, jejichž prvky jsou označitelné přirozenými čísly, všechny tedy mají shodný počet prvků, např. celá čísla, celá kladná (přirozená), racionální čísla atp.,
• kontinuum, mohutnosti kontinua – mají počet prvků spojitě nekonečný, tj. nekonečně mohutnější, než spočetné množiny, např. interval mezi dvěma čísly, reálná čísla, komplexní čísla, body úsečky, body roviny.

• Disjunktní množiny
• Geometrický útvar
• Množina všech bodů dané vlastnosti
• Množina (datová struktura)
• Nekonečná množina
• Podmnožina
• Prázdná množina
• Stirlingova čísla
• Uspořádaná množina
• Vyhledávací operátory